Номер 164, страница 21 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

164. Апофема правильной пирамиды равна $m$ и образует с плоскостью основания угол $30^\circ$. Найдите площадь полной поверхности конуса, вписанного в данную пирамиду.

164. Апофема правильной пирамиды равна $m$ и образует с плоскостью основания угол $30^\circ$. Найдите площадь полной поверхности конуса, вписанного в данную пирамиду.

Для решения задачи воспользуемся связью между параметрами правильной пирамиды и вписанного в нее конуса. Конус, вписанный в правильную пирамиду, имеет общую с ней вершину и высоту. Основание конуса — это круг, вписанный в многоугольник, являющийся основанием пирамиды.

Обозначим:

• $m$ — апофема правильной пирамиды (длина высоты боковой грани).
• $l$ — образующая вписанного конуса.
• $h$ — высота пирамиды и конуса.
• $r$ — радиус основания вписанного конуса.

Апофема пирамиды $m$ является образующей вписанного конуса $l$. Таким образом, $l = m$.

Угол, который апофема пирамиды образует с плоскостью основания, — это угол между апофемой $m$ и проекцией этой апофемы на основание. Проекцией апофемы на основание является радиус вписанной в основание окружности, то есть радиус основания конуса $r$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса $h$, радиусом его основания $r$ и образующей $l$. В этом треугольнике:

• $l$ — гипотенуза.
• $h$ и $r$ — катеты.
• Угол между образующей $l$ и радиусом $r$ равен $30^{\circ}$ по условию.

Теперь найдем радиус основания конуса $r$, используя тригонометрические соотношения в этом прямоугольном треугольнике:

$r = l \cdot \cos(30^{\circ})$

Так как $l = m$, получаем:

$r = m \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

Площадь полной поверхности конуса вычисляется по формуле:

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = \pi r^2 + \pi r l = \pi r(r + l)$

Подставим в эту формулу найденное значение $r$ и известное значение $l=m$:

$S_{полн} = \pi \cdot \frac{m\sqrt{3}}{2} \left( \frac{m\sqrt{3}}{2} + m \right)$

Вынесем $m$ за скобки внутри круглых скобок:

$S_{полн} = \pi \cdot \frac{m\sqrt{3}}{2} \cdot m \left( \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 \right)$

$S_{полн} = \frac{\pi m^2 \sqrt{3}}{2} \left( \frac{\sqrt{3} + 2}{2} \right)$

Перемножим дроби:

$S_{полн} = \frac{\pi m^2 \sqrt{3}(\sqrt{3} + 2)}{4}$

Раскроем скобки в числителе:

$S_{полн} = \frac{\pi m^2 (\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} + 2\sqrt{3})}{4}$

$S_{полн} = \frac{\pi m^2 (3 + 2\sqrt{3})}{4}$

Ответ: $\frac{\pi m^2 (3 + 2\sqrt{3})}{4}$