Номер 168, страница 21 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

168. Основанием пирамиды является равнобокая трапеция, основания которой равны 18 см и 8 см. Боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом $30^\circ$. Найдите площадь осевого сечения конуса, вписанного в данную пирамиду.

168. Основанием пирамиды является равнобокая трапеция, основания которой равны 18 см и 8 см. Боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом $30^\circ$. Найдите площадь осевого сечения конуса, вписанного в данную пирамиду.

По условию, основанием пирамиды является равнобокая трапеция с основаниями $a = 18$ см и $b = 8$ см. Так как все боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом ($30^\circ$), то вершина пирамиды проецируется в центр окружности, вписанной в основание. Конус, вписанный в эту пирамиду, будет иметь своей высотой высоту пирамиды, а основанием — окружность, вписанную в трапецию.

Для нахождения площади осевого сечения конуса нам необходимо найти его радиус $r$ и высоту $H_{кон}$.

1. Найдем радиус основания конуса.
Радиус основания конуса равен радиусу окружности, вписанной в трапецию. В любой четырехугольник, в который можно вписать окружность, суммы длин противоположных сторон равны. Для равнобокой трапеции с боковой стороной $c$ это означает:$a + b = 2c$$18 + 8 = 2c$$26 = 2c$$c = 13$ см.

Высота трапеции $h_{трап}$ является диаметром вписанной окружности ($h_{трап} = 2r$). Найдем высоту, проведя ее из вершины меньшего основания к большему. Она отсечет от большего основания отрезок, длина которого равна полуразности оснований:$x = \frac{a - b}{2} = \frac{18 - 8}{2} = 5$ см.Рассмотрим получившийся прямоугольный треугольник, гипотенузой которого является боковая сторона трапеции $c$, а катетами — высота $h_{трап}$ и отрезок $x$. По теореме Пифагора:$c^2 = h_{трап}^2 + x^2$$13^2 = h_{трап}^2 + 5^2$$169 = h_{трап}^2 + 25$$h_{трап}^2 = 144$$h_{трап} = 12$ см.

Радиус вписанной окружности (и основания конуса) равен половине высоты трапеции:$r = \frac{h_{трап}}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.

2. Найдем высоту конуса.
Высота конуса $H_{кон}$ совпадает с высотой пирамиды. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды, радиусом вписанной окружности и апофемой (высотой боковой грани). В этом треугольнике катеты — это высота пирамиды $H_{кон}$ и радиус $r$, а угол, противолежащий высоте, — это заданный угол наклона боковой грани, равный $30^\circ$.$\tan(30^\circ) = \frac{H_{кон}}{r}$$H_{кон} = r \cdot \tan(30^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$ см.

3. Найдем площадь осевого сечения конуса.
Осевое сечение конуса — это равнобедренный треугольник, основание которого равно диаметру основания конуса ($d = 2r$), а высота — высоте конуса $H_{кон}$.Площадь осевого сечения $S_{сеч}$ вычисляется по формуле:$S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot d \cdot H_{кон} = \frac{1}{2} \cdot (2r) \cdot H_{кон} = r \cdot H_{кон}$Подставим найденные значения:$S_{сеч} = 6 \cdot 2\sqrt{3} = 12\sqrt{3}$ см².

Ответ: $12\sqrt{3}$ см².