Номер 162, страница 21 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

162. Основанием пирамиды DABC является треугольник ABC такой, что $AB = BC = a$, $\angle ABC = \alpha$. Найдите площадь боковой поверхности конуса, описанного около данной пирамиды, если $\angle ACD = \beta$.

162. Основанием пирамиды DABC является треугольник ABC такой, что $AB = BC = a$, $\angle ABC = \alpha$. Найдите площадь боковой поверхности конуса, описанного около данной пирамиды, если $\angle ACD = \beta$.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi R L$, где $R$ — радиус основания конуса, а $L$ — длина его образующей.

Поскольку конус описан около пирамиды $DABC$, его вершина совпадает с вершиной пирамиды $D$, а основание конуса — это окружность, описанная около основания пирамиды, треугольника $ABC$. Следовательно, радиус основания конуса $R$ равен радиусу окружности, описанной около треугольника $ABC$, а образующая конуса $L$ равна длине боковых ребер пирамиды, т.е. $L = DA = DB = DC$.

1. Найдем радиус основания конуса $R$.

Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник $ABC$, в котором $AB = BC = a$ и $\angle ABC = \alpha$. Углы при основании $AC$ равны: $\angle BAC = \angle BCA = (180^\circ - \alpha) / 2 = 90^\circ - \alpha/2$.

Радиус $R$ описанной около треугольника $ABC$ окружности можно найти по теореме синусов:$\frac{a}{\sin(\angle BCA)} = 2R$

Подставим значение угла:$\frac{a}{\sin(90^\circ - \alpha/2)} = 2R$

Используя формулу приведения $\sin(90^\circ - x) = \cos(x)$, получаем:$\frac{a}{\cos(\alpha/2)} = 2R$

Отсюда находим радиус:$R = \frac{a}{2\cos(\alpha/2)}$

2. Найдем образующую конуса $L$.

Образующая конуса $L$ равна длине бокового ребра $DC$. Рассмотрим треугольник $ADC$. Так как $DA = DC = L$, он является равнобедренным. По условию $\angle ACD = \beta$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому $\angle DAC = \angle ACD = \beta$.

Найдем длину основания $AC$ этого треугольника из треугольника $ABC$ по теореме косинусов:$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle ABC)$$AC^2 = a^2 + a^2 - 2 \cdot a \cdot a \cdot \cos(\alpha) = 2a^2(1 - \cos\alpha)$

Применим формулу половинного угла $1 - \cos\alpha = 2\sin^2(\alpha/2)$:$AC^2 = 2a^2 \cdot 2\sin^2(\alpha/2) = 4a^2\sin^2(\alpha/2)$$AC = 2a\sin(\alpha/2)$

Теперь вернемся к треугольнику $ADC$. Проведем в нем высоту $DK$ к основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике высота является также медианой, поэтому $CK = \frac{1}{2}AC = a\sin(\alpha/2)$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $DKC$. Из определения косинуса угла:$\cos(\angle KCD) = \frac{CK}{DC}$$\cos(\beta) = \frac{a\sin(\alpha/2)}{L}$

Отсюда выражаем образующую $L$:$L = \frac{a\sin(\alpha/2)}{\cos(\beta)}$

3. Вычислим площадь боковой поверхности конуса.

Подставим найденные значения $R$ и $L$ в формулу площади боковой поверхности конуса:$S_{бок} = \pi R L = \pi \cdot \left(\frac{a}{2\cos(\alpha/2)}\right) \cdot \left(\frac{a\sin(\alpha/2)}{\cos(\beta)}\right)$

$S_{бок} = \frac{\pi a^2 \sin(\alpha/2)}{2\cos(\alpha/2)\cos(\beta)}$

Учитывая, что $\frac{\sin(\alpha/2)}{\cos(\alpha/2)} = \tan(\alpha/2)$, получаем окончательное выражение:$S_{бок} = \frac{\pi a^2 \tan(\alpha/2)}{2\cos(\beta)}$

Ответ: $S_{бок} = \frac{\pi a^2 \tan(\alpha/2)}{2\cos(\beta)}$.