Номер 155, страница 20 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

155. Диагонали осевого сечения усечённого конуса перпендикулярны, а его образующая равна $m$ и наклонена к плоскости большего основания под углом $\alpha$. Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса.

155. Диагонали осевого сечения усечённого конуса перпендикулярны, а его образующая равна $m$ и наклонена к плоскости большего основания под углом $\alpha$. Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса.

Осевое сечение усеченного конуса — это равнобедренная трапеция. Обозначим радиусы оснований конуса как $R$ (радиус большего основания) и $r$ (радиус меньшего основания), а образующую — $m$. Высота усеченного конуса (и трапеции) равна $h$. Основаниями трапеции являются диаметры оснований конуса, то есть их длины равны $2R$ и $2r$. Боковые стороны трапеции равны образующей $m$.

Площадь боковой поверхности усеченного конуса вычисляется по формуле:

$S_{бок} = \pi(R + r)m$

Для решения задачи нам необходимо найти сумму радиусов $R + r$, так как образующая $m$ дана по условию.

Согласно условию, образующая $m$ наклонена к плоскости большего основания под углом $\alpha$. В осевом сечении это угол между боковой стороной трапеции и ее большим основанием. Если опустить высоту $h$ из вершины меньшего основания на большее, образуется прямоугольный треугольник. Гипотенузой этого треугольника является образующая $m$, а катетом, противолежащим углу $\alpha$, — высота $h$. Из этого треугольника находим соотношение:

$h = m \cdot \sin(\alpha)$

Также в условии сказано, что диагонали осевого сечения перпендикулярны. Для равнобедренной трапеции, у которой диагонали перпендикулярны, высота равна полусумме ее оснований. Основания нашей трапеции равны $2R$ и $2r$. Таким образом, высота $h$ равна:

$h = \frac{2R + 2r}{2} = R + r$

Теперь у нас есть два выражения для высоты $h$. Приравнивая их, получаем:

$R + r = m \sin(\alpha)$

Подставим найденное выражение для суммы радиусов $(R + r)$ в формулу площади боковой поверхности усеченного конуса:

$S_{бок} = \pi(R + r)m = \pi (m \sin(\alpha)) m = \pi m^2 \sin(\alpha)$

Ответ: $\pi m^2 \sin(\alpha)$.