Номер 153, страница 19 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

153. Образующая усечённого конуса равна 10 см, а угол между диагональю осевого сечения и плоскостью основания равен $30^\circ$. Диагональ осевого сечения перпендикулярна образующей, через которую проходит это сечение. Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса.

153. Образующая усечённого конуса равна 10 см, а угол между диагональю осевого сечения и плоскостью основания равен $30^\circ$. Диагональ осевого сечения перпендикулярна образующей, через которую проходит это сечение. Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса.

Площадь боковой поверхности усеченного конуса вычисляется по формуле: $S_{бок} = \pi(R+r)l$, где $R$ и $r$ – радиусы большего и меньшего оснований соответственно, а $l$ – длина образующей.

Из условия задачи нам известна образующая $l = 10$ см. Необходимо найти радиусы $R$ и $r$.

Рассмотрим осевое сечение усеченного конуса. Оно представляет собой равнобедренную трапецию, обозначим ее $ABCD$, где $CD$ – диаметр нижнего основания, $AB$ – диаметр верхнего основания, а $AC$ и $BD$ – образующие. $AD$ – диагональ осевого сечения.

Согласно условию, угол между диагональю осевого сечения $AD$ и плоскостью основания равен $30°$. Этот угол является углом между самой диагональю и ее проекцией на плоскость основания, то есть диаметром $CD$. Таким образом, $\angle ADC = 30°$.

Также по условию диагональ осевого сечения $AD$ перпендикулярна образующей $AC$. Это означает, что $\angle CAD = 90°$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ACD$. Он является прямоугольным, так как $\angle CAD = 90°$. В этом треугольнике нам известны катет $AC=l=10$ см и угол $\angle ADC = 30°$.

1. Нахождение радиуса нижнего основания R.
В прямоугольном треугольнике $\triangle ACD$ сторона $CD$ является гипотенузой. Мы можем найти ее длину через синус противолежащего угла:$CD = \frac{AC}{\sin(\angle ADC)} = \frac{10}{\sin(30°)} = \frac{10}{1/2} = 20$ см.
Диаметр нижнего основания равен 20 см, следовательно, радиус $R = \frac{CD}{2} = \frac{20}{2} = 10$ см.

2. Нахождение радиуса верхнего основания r.
Сначала найдем угол $\angle ACD$ в треугольнике $\triangle ACD$:$\angle ACD = 180° - \angle CAD - \angle ADC = 180° - 90° - 30° = 60°$.
Проведем высоту трапеции $AH$ из вершины $A$ к основанию $CD$. Получим прямоугольный треугольник $\triangle ACH$. В этом треугольнике гипотенуза $AC = 10$ см, а угол $\angle ACH = \angle ACD = 60°$.
Найдем длину отрезка $CH$:$CH = AC \cdot \cos(\angle ACH) = 10 \cdot \cos(60°) = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5$ см.
Для равнобедренной трапеции верно соотношение $CD = AB + 2 \cdot CH$. Подставим известные значения:$20 = AB + 2 \cdot 5 \Rightarrow 20 = AB + 10 \Rightarrow AB = 10$ см.
Диаметр верхнего основания равен 10 см, следовательно, радиус $r = \frac{AB}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см.

3. Вычисление площади боковой поверхности.
Теперь, когда известны все необходимые величины ($l=10$ см, $R=10$ см, $r=5$ см), мы можем вычислить площадь боковой поверхности:$S_{бок} = \pi(R+r)l = \pi(10+5) \cdot 10 = \pi \cdot 15 \cdot 10 = 150\pi$ см².

Ответ: $150\pi$ см².