Страница 19 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

145. Основание равнобедренного треугольника равно 12 см, а угол при вершине — $120^\circ$. Треугольник вращается вокруг прямой, содержащей его боковую сторону. Найдите площадь поверхности тела вращения.

145. Основание равнобедренного треугольника равно 12 см, а угол при вершине — $120^\circ$. Треугольник вращается вокруг прямой, содержащей его боковую сторону. Найдите площадь поверхности тела вращения.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$, где $AC$ — основание, а $AB$ и $BC$ — боковые стороны. По условию, $AC = 12$ см, а угол при вершине $\angle ABC = 120^\circ$. Треугольник вращается вокруг прямой, содержащей боковую сторону, например, $AB$.

Тело вращения, полученное в результате такого вращения, состоит из двух конусов, имеющих общее основание.

• Первый конус образуется вращением стороны $BC$ вокруг оси $AB$.
• Второй конус образуется вращением основания $AC$ вокруг оси $AB$.

Площадь поверхности тела вращения равна сумме площадей боковых поверхностей этих двух конусов.

1. Нахождение параметров треугольника.

Сначала найдем углы при основании треугольника. Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, углы при основании равны:
$\angle BAC = \angle BCA = (180^\circ - 120^\circ) / 2 = 30^\circ$.

Теперь найдем длину боковой стороны $BC$ (и $AB$) по теореме синусов:
$\frac{AC}{\sin(\angle ABC)} = \frac{BC}{\sin(\angle BAC)}$
$\frac{12}{\sin(120^\circ)} = \frac{BC}{\sin(30^\circ)}$
$BC = 12 \cdot \frac{\sin(30^\circ)}{\sin(120^\circ)} = 12 \cdot \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}$ см.
Итак, боковые стороны $AB = BC = 4\sqrt{3}$ см.

2. Нахождение параметров конусов.

Радиусом общего основания двух конусов является высота $CH$, проведенная из вершины $C$ к прямой $AB$. Эту высоту можно найти из треугольника $ABC$, рассмотрев сторону $AC$ и угол $\angle BAC$.
$CH = AC \cdot \sin(\angle BAC) = 12 \cdot \sin(30^\circ) = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6$ см.

Таким образом, для обоих конусов радиус основания $r = CH = 6$ см.

Образующие конусов — это стороны треугольника, которые вращаются:

• Образующая первого конуса: $l_1 = BC = 4\sqrt{3}$ см.
• Образующая второго конуса: $l_2 = AC = 12$ см.

3. Вычисление площади поверхности тела вращения.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi r l$.

Площадь боковой поверхности первого конуса (образованного вращением $BC$):
$S_1 = \pi \cdot r \cdot l_1 = \pi \cdot 6 \cdot 4\sqrt{3} = 24\pi\sqrt{3}$ см$^2$.

Площадь боковой поверхности второго конуса (образованного вращением $AC$):
$S_2 = \pi \cdot r \cdot l_2 = \pi \cdot 6 \cdot 12 = 72\pi$ см$^2$.

Полная площадь поверхности тела вращения равна сумме площадей боковых поверхностей этих конусов:
$S = S_1 + S_2 = 24\pi\sqrt{3} + 72\pi = 24\pi(\sqrt{3} + 3)$ см$^2$.

Ответ: $24\pi(3 + \sqrt{3})$ см$^2$.

146. Основания равнобокой трапеции равны 15 см и 25 см, а высота — 12 см. Трапеция вращается вокруг прямой, содержащей меньшее основание. Найдите площадь поверхности тела вращения.

146. Основания равнобокой трапеции равны 15 см и 25 см, а высота — 12 см. Трапеция вращается вокруг прямой, содержащей меньшее основание. Найдите площадь поверхности тела вращения.

Поверхность тела вращения, полученного при вращении равнобокой трапеции вокруг прямой, содержащей её меньшее основание, состоит из суммы площадей поверхностей, образованных вращением большего основания и двух боковых сторон.

Площадь поверхности, образованной вращением большего основания.
При вращении большего основания трапеции ($b = 25$ см) образуется боковая поверхность цилиндра. Радиус этого цилиндра $r$ равен высоте трапеции ($h = 12$ см), а образующая (в данном случае, "высота") цилиндра равна длине большего основания.Площадь боковой поверхности цилиндра ($S_{цил}$) вычисляется по формуле $S_{цил} = 2 \pi r b$.$S_{цил} = 2 \pi \cdot 12 \cdot 25 = 600 \pi \text{ см}^2$.

Площадь поверхностей, образованных вращением боковых сторон.
При вращении каждой боковой стороны образуется боковая поверхность конуса. Так как трапеция равнобокая, эти две поверхности одинаковы.Радиус основания каждого конуса $r_{кон}$ равен высоте трапеции, то есть $r_{кон} = h = 12$ см.Образующая конуса $l$ равна длине боковой стороны трапеции. Найдем $l$ по теореме Пифагора, рассмотрев прямоугольный треугольник, катетами которого являются высота трапеции $h$ и отрезок, равный полуразности оснований $\frac{b - a}{2}$, где $a=15$ см и $b=25$ см.Длина отрезка: $\frac{b - a}{2} = \frac{25 - 15}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см.Найдем длину образующей:$l = \sqrt{h^2 + \left(\frac{b - a}{2}\right)^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$ см.Площадь боковой поверхности одного конуса ($S_{кон}$) равна $S_{кон} = \pi r_{кон} l$.$S_{кон} = \pi \cdot 12 \cdot 13 = 156 \pi \text{ см}^2$.Суммарная площадь двух таких поверхностей: $2 \cdot S_{кон} = 2 \cdot 156 \pi = 312 \pi \text{ см}^2$.

Полная площадь поверхности тела вращения.
Полная площадь $S$ является суммой найденных площадей:$S = S_{цил} + 2 \cdot S_{кон} = 600 \pi + 312 \pi = 912 \pi \text{ см}^2$.

Ответ: $912 \pi \text{ см}^2$.

147. Высота конуса равна 18 см, а радиус основания — 6 см. Плоскость, перпендикулярная оси конуса, пересекает его боковую поверхность по окружности, радиус которой 4 см. Найдите расстояние от плоскости сечения до плоскости основания конуса.

147. Высота конуса равна 18 см, а радиус основания — 6 см. Плоскость, перпендикулярная оси конуса, пересекает его боковую поверхность по окружности, радиус которой 4 см. Найдите расстояние от плоскости сечения до плоскости основания конуса.

Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник. Высота этого треугольника равна высоте конуса $H$, а половина основания равна радиусу основания конуса $R$. Плоскость, перпендикулярная оси конуса, образует в сечении отрезок, параллельный основанию треугольника. Этот отрезок является диаметром окружности сечения, а его половина — радиусом этой окружности $r$.

Таким образом, в осевом сечении мы имеем два подобных прямоугольных треугольника. Один, больший, образован высотой конуса $H$, радиусом его основания $R$ и образующей. Второй, меньший, отсекается плоскостью сечения и имеет высоту $h$ (от вершины конуса до плоскости сечения) и основание, равное радиусу сечения $r$.

По условию задачи:

• Высота большого конуса $H = 18$ см
• Радиус основания большого конуса $R = 6$ см
• Радиус сечения (основания малого конуса) $r = 4$ см

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответствующих сторон:

$$ \frac{h}{H} = \frac{r}{R} $$

Подставим известные значения, чтобы найти высоту малого конуса $h$:

$$ \frac{h}{18} = \frac{4}{6} $$

Упростим правую часть уравнения:

$$ \frac{h}{18} = \frac{2}{3} $$

Теперь найдем $h$:

$$ h = 18 \cdot \frac{2}{3} = 12 \text{ см} $$

Мы нашли расстояние от вершины конуса до плоскости сечения. Чтобы найти искомое расстояние от плоскости сечения до плоскости основания конуса, нужно вычесть высоту малого конуса $h$ из высоты большого конуса $H$.

$$ d = H - h = 18 - 12 = 6 \text{ см} $$

Ответ: 6 см.

148. Радиус основания конуса равен 9 см. Плоскость, параллельная плоскости основания конуса, делит его высоту в отношении 2 : 1, считая от вершины конуса. Найдите площадь образовавшегося сечения.

148. Радиус основания конуса равен 9 см. Плоскость, параллельная плоскости основания конуса, делит его высоту в отношении $2 : 1$, считая от вершины конуса. Найдите площадь образовавшегося сечения.

Обозначим радиус основания исходного конуса как $R$, а его высоту как $H$. По условию, $R = 9$ см. Секущая плоскость параллельна основанию и делит высоту конуса в отношении $2:1$, считая от вершины. Это означает, что она отсекает от исходного конуса меньший конус, подобный ему.

Высота меньшего конуса, обозначим ее $h$, будет составлять 2 части, а высота всего конуса $H$ будет составлять $2+1=3$ части. Таким образом, отношение высоты малого конуса к высоте большого конуса равно:

$\frac{h}{H} = \frac{2}{2+1} = \frac{2}{3}$

Это отношение является коэффициентом подобия $k$ между малым и большим конусами. Отношение радиусов оснований подобных конусов также равно коэффициенту подобия. Пусть $r$ — это радиус сечения (основания малого конуса). Тогда:

$\frac{r}{R} = k = \frac{2}{3}$

Зная радиус основания большого конуса $R = 9$ см, найдем радиус сечения $r$:

$r = R \cdot k = 9 \cdot \frac{2}{3} = 6 \text{ см}$

Сечение представляет собой круг, площадь которого $S$ вычисляется по формуле:

$S = \pi r^2$

Подставим найденное значение радиуса сечения $r=6$ см:

$S = \pi \cdot 6^2 = 36\pi \text{ см}^2$

Ответ: $36\pi \text{ см}^2$.

149. Высота усечённого конуса равна 10 см, а угол между образующей и плоскостью большего основания равен $30^\circ$. Найдите образующую усечённого конуса.

149. Высота усечённого конуса равна 10 см, а угол между образующей и плоскостью большого основания равен $30^\circ$. Найдите образующую усечённого конуса.

Рассмотрим осевое сечение усечённого конуса, которое представляет собой равнобедренную трапецию. В этой трапеции боковая сторона является образующей конуса ($l$), а высота трапеции — высотой усечённого конуса ($H$).

Проведём высоту из вершины меньшего основания трапеции к большему основанию. В результате образуется прямоугольный треугольник. В этом треугольнике:

• гипотенуза — это образующая конуса ($l$);
• один из катетов — это высота конуса ($H$), равная 10 см;
• угол, противолежащий катету $H$, — это угол между образующей и плоскостью большего основания, который по условию равен $30^{\circ}$.

Обозначим данный угол как $\alpha$. Связь между противолежащим катетом, гипотенузой и углом в прямоугольном треугольнике выражается через синус:
$\sin(\alpha) = \frac{H}{l}$

Из этой формулы выразим образующую $l$:
$l = \frac{H}{\sin(\alpha)}$

Подставим известные значения: $H = 10$ см и $\alpha = 30^{\circ}$.
$l = \frac{10}{\sin(30^{\circ})}$

Значение синуса $30^{\circ}$ равно $\frac{1}{2}$.
$l = \frac{10}{\frac{1}{2}} = 10 \cdot 2 = 20$ см.

Ответ: 20 см.

150. Образующая усечённого конуса равна 15 см, высота — 12 см, а радиус меньшего основания — 6 см.

Найдите площадь осевого сечения усечённого конуса.

150. Образующая усечённого конуса равна 15 см, высота — 12 см, а радиус меньшего основания — 6 см.

Найдите площадь осевого сечения усечённого конуса.

Осевое сечение усечённого конуса представляет собой равнобедренную трапецию. Основаниями этой трапеции являются диаметры оснований конуса ($2R$ и $2r$), боковые стороны равны образующей конуса ($l$), а высота трапеции равна высоте конуса ($h$).

Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{a+b}{2} \cdot h_{тр}$, где $a$ и $b$ — длины оснований, а $h_{тр}$ — высота трапеции. Для осевого сечения усеченного конуса формула принимает вид:

$S_{сеч} = \frac{2R + 2r}{2} \cdot h = (R+r) \cdot h$

По условию задачи даны:

• образующая $l = 15$ см;
• высота $h = 12$ см;
• радиус меньшего основания $r = 6$ см.

Для вычисления площади нам необходимо найти радиус большего основания $R$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, который образуют высота усечённого конуса $h$, его образующая $l$ и разность радиусов оснований $(R-r)$. В этом треугольнике образующая $l$ является гипотенузой, а высота $h$ и разность радиусов $(R-r)$ — катетами.

По теореме Пифагора:

$l^2 = h^2 + (R-r)^2$

Подставим известные значения и найдем $R$:

$15^2 = 12^2 + (R-6)^2$

$225 = 144 + (R-6)^2$

$(R-6)^2 = 225 - 144$

$(R-6)^2 = 81$

Поскольку радиус является величиной положительной, извлекаем квадратный корень:

$R-6 = 9$

$R = 9 + 6$

$R = 15$ см.

Теперь мы можем вычислить площадь осевого сечения, подставив все известные значения в формулу:

$S_{сеч} = (R+r) \cdot h = (15 + 6) \cdot 12$

$S_{сеч} = 21 \cdot 12 = 252$ см².

Ответ: $252$ см².

151. Радиусы оснований усечённого конуса равны 8 см и 9 см, а образующая — 5 см. Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса.

151. Радиусы оснований усечённого конуса равны 8 см и 9 см, а образующая — 5 см. Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса.

Площадь боковой поверхности усеченного конуса вычисляется по формуле:

$S_{бок} = \pi(R + r)l$

где $R$ и $r$ — это радиусы оснований усеченного конуса, а $l$ — его образующая.

Из условия задачи нам даны следующие значения:

Радиус одного основания $R = 9$ см.

Радиус другого основания $r = 8$ см.

Образующая $l = 5$ см.

Подставим эти значения в формулу для нахождения площади боковой поверхности:

$S_{бок} = \pi(9 + 8) \cdot 5$

$S_{бок} = \pi \cdot 17 \cdot 5$

$S_{бок} = 85\pi$ см².

Ответ: $85\pi$ см².

152. Угол между образующей усечённого конуса и плоскостью большего основания равен $45^{\circ}$, высота усечённого конуса — 4 см, а диагональ осевого сечения — $4\sqrt{26}$ см. Найдите радиусы оснований усечённого конуса.

152. Угол между образующей усечённого конуса и плоскостью большего основания равен $45^\circ$, высота усечённого конуса — $4$ см, а диагональ осевого сечения — $4\sqrt{26}$ см. Найдите радиусы оснований усечённого конуса.

Рассмотрим осевое сечение усечённого конуса, которое представляет собой равнобедренную трапецию. Обозначим радиусы большего и меньшего оснований как $R$ и $r$ соответственно, высоту конуса как $h$, а диагональ осевого сечения как $d$.

По условию задачи нам даны:

• Высота $h = 4$ см.
• Диагональ осевого сечения $d = 4\sqrt{26}$ см.
• Угол между образующей и плоскостью большего основания $\alpha = 45^\circ$.

1. Нахождение разности радиусов

Проведём высоту в трапеции из вершины меньшего основания на большее. Мы получим прямоугольный треугольник. Катетами этого треугольника будут высота конуса $h$ и отрезок, равный разности радиусов оснований $(R-r)$. Гипотенузой будет образующая конуса $l$. Угол между образующей и большим основанием — это угол между гипотенузой и катетом $(R-r)$, и он равен $45^\circ$.

Так как в прямоугольном треугольнике один из острых углов равен $45^\circ$, то этот треугольник является равнобедренным. Следовательно, его катеты равны:

$R - r = h$

Подставляя значение высоты, получаем первое уравнение:

$R - r = 4$

2. Нахождение суммы радиусов

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю осевого сечения $d$ (гипотенуза), высотой конуса $h$ (катет) и отрезком на большем основании (второй катет). Длина этого отрезка равна сумме радиусов $R+r$.

По теореме Пифагора:

$d^2 = h^2 + (R+r)^2$

Подставим известные значения в формулу:

$(4\sqrt{26})^2 = 4^2 + (R+r)^2$

$16 \cdot 26 = 16 + (R+r)^2$

$416 = 16 + (R+r)^2$

$(R+r)^2 = 416 - 16$

$(R+r)^2 = 400$

$R+r = \sqrt{400}$

$R+r = 20$ (так как сумма радиусов должна быть положительной)

Мы получили второе уравнение: $R+r = 20$.

3. Решение системы уравнений и нахождение радиусов

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} R - r = 4 \\ R + r = 20 \end{cases}$

Сложим эти два уравнения:

$(R - r) + (R + r) = 4 + 20$

$2R = 24$

$R = 12$ см.

Теперь подставим найденное значение $R$ в любое из уравнений, например, во второе:

$12 + r = 20$

$r = 20 - 12$

$r = 8$ см.

Ответ: радиус большего основания равен 12 см, радиус меньшего основания равен 8 см.

153. Образующая усечённого конуса равна 10 см, а угол между диагональю осевого сечения и плоскостью основания равен $30^\circ$. Диагональ осевого сечения перпендикулярна образующей, через которую проходит это сечение. Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса.

153. Образующая усечённого конуса равна 10 см, а угол между диагональю осевого сечения и плоскостью основания равен $30^\circ$. Диагональ осевого сечения перпендикулярна образующей, через которую проходит это сечение. Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса.

Площадь боковой поверхности усеченного конуса вычисляется по формуле: $S_{бок} = \pi(R+r)l$, где $R$ и $r$ – радиусы большего и меньшего оснований соответственно, а $l$ – длина образующей.

Из условия задачи нам известна образующая $l = 10$ см. Необходимо найти радиусы $R$ и $r$.

Рассмотрим осевое сечение усеченного конуса. Оно представляет собой равнобедренную трапецию, обозначим ее $ABCD$, где $CD$ – диаметр нижнего основания, $AB$ – диаметр верхнего основания, а $AC$ и $BD$ – образующие. $AD$ – диагональ осевого сечения.

Согласно условию, угол между диагональю осевого сечения $AD$ и плоскостью основания равен $30°$. Этот угол является углом между самой диагональю и ее проекцией на плоскость основания, то есть диаметром $CD$. Таким образом, $\angle ADC = 30°$.

Также по условию диагональ осевого сечения $AD$ перпендикулярна образующей $AC$. Это означает, что $\angle CAD = 90°$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ACD$. Он является прямоугольным, так как $\angle CAD = 90°$. В этом треугольнике нам известны катет $AC=l=10$ см и угол $\angle ADC = 30°$.

1. Нахождение радиуса нижнего основания R.
В прямоугольном треугольнике $\triangle ACD$ сторона $CD$ является гипотенузой. Мы можем найти ее длину через синус противолежащего угла:$CD = \frac{AC}{\sin(\angle ADC)} = \frac{10}{\sin(30°)} = \frac{10}{1/2} = 20$ см.
Диаметр нижнего основания равен 20 см, следовательно, радиус $R = \frac{CD}{2} = \frac{20}{2} = 10$ см.

2. Нахождение радиуса верхнего основания r.
Сначала найдем угол $\angle ACD$ в треугольнике $\triangle ACD$:$\angle ACD = 180° - \angle CAD - \angle ADC = 180° - 90° - 30° = 60°$.
Проведем высоту трапеции $AH$ из вершины $A$ к основанию $CD$. Получим прямоугольный треугольник $\triangle ACH$. В этом треугольнике гипотенуза $AC = 10$ см, а угол $\angle ACH = \angle ACD = 60°$.
Найдем длину отрезка $CH$:$CH = AC \cdot \cos(\angle ACH) = 10 \cdot \cos(60°) = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5$ см.
Для равнобедренной трапеции верно соотношение $CD = AB + 2 \cdot CH$. Подставим известные значения:$20 = AB + 2 \cdot 5 \Rightarrow 20 = AB + 10 \Rightarrow AB = 10$ см.
Диаметр верхнего основания равен 10 см, следовательно, радиус $r = \frac{AB}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см.

3. Вычисление площади боковой поверхности.
Теперь, когда известны все необходимые величины ($l=10$ см, $R=10$ см, $r=5$ см), мы можем вычислить площадь боковой поверхности:$S_{бок} = \pi(R+r)l = \pi(10+5) \cdot 10 = \pi \cdot 15 \cdot 10 = 150\pi$ см².

Ответ: $150\pi$ см².