Страница 13 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

96. Найдите угол между плоскостями:

1) $2x - y + 4z - 20 = 0$ и $3x - 14y - 5z + 32 = 0$;

2) $x + y - 2z + 3 = 0$ и $2x - y - 2z - 7 = 0$.

96. Найдите угол между плоскостями:

1) $2x - y + 4z - 20 = 0$ и $3x - 14y - 5z + 32 = 0;$

2) $x + y - 2z + 3 = 0$ и $2x - y - 2z - 7 = 0.$

Угол между двумя плоскостями определяется как угол между их нормальными векторами. Для плоскостей, заданных уравнениями $A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0$ и $A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0$, их нормальные векторы имеют координаты $\vec{n_1} = (A_1, B_1, C_1)$ и $\vec{n_2} = (A_2, B_2, C_2)$.

Косинус угла $\phi$ между плоскостями вычисляется по формуле:

$\cos(\phi) = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|} = \frac{|A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2|}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2 + C_1^2} \cdot \sqrt{A_2^2 + B_2^2 + C_2^2}}$

Найдем нормальные векторы к данным плоскостям.

Для первой плоскости $2x - y + 4z - 20 = 0$, нормальный вектор $\vec{n_1} = (2, -1, 4)$.

Для второй плоскости $3x - 14y - 5z + 32 = 0$, нормальный вектор $\vec{n_2} = (3, -14, -5)$.

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{n_1}$ и $\vec{n_2}$:

$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 2 \cdot 3 + (-1) \cdot (-14) + 4 \cdot (-5) = 6 + 14 - 20 = 0$.

Так как скалярное произведение нормальных векторов равно нулю, векторы перпендикулярны (ортогональны). Следовательно, и плоскости перпендикулярны.

Угол между плоскостями равен $90^\circ$ или $\frac{\pi}{2}$ радиан.

Ответ: $90^\circ$.

Найдем нормальные векторы к данным плоскостям.

Для первой плоскости $x + y - 2z + 3 = 0$, нормальный вектор $\vec{n_1} = (1, 1, -2)$.

Для второй плоскости $2x - y - 2z - 7 = 0$, нормальный вектор $\vec{n_2} = (2, -1, -2)$.

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{n_1}$ и $\vec{n_2}$:

$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 1 \cdot 2 + 1 \cdot (-1) + (-2) \cdot (-2) = 2 - 1 + 4 = 5$.

Найдем длины (модули) нормальных векторов:

$|\vec{n_1}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}$.

$|\vec{n_2}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3$.

Теперь найдем косинус угла $\phi$ между плоскостями:

$\cos(\phi) = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|} = \frac{|5|}{\sqrt{6} \cdot 3} = \frac{5}{3\sqrt{6}}$.

Угол $\phi$ равен арккосинусу этого значения:

$\phi = \arccos\left(\frac{5}{3\sqrt{6}}\right)$.

Ответ: $\arccos\left(\frac{5}{3\sqrt{6}}\right)$.

97. При каком значении $n$ плоскость $x - 7y + 3z - 8 = 0$ будет параллельна прямой $BC$, если $B (3; -4; n)$, $C (2; -2; 1)$?

97. При каком значении $n$ плоскость $x - 7y + 3z - 8 = 0$ будет параллельна прямой $BC$, если $B (3; -4; n)$, $C (2; -2; 1)$?

Для того чтобы плоскость была параллельна прямой, необходимо и достаточно, чтобы нормальный вектор плоскости был перпендикулярен направляющему вектору прямой.

1. Уравнение плоскости дано в виде $x - 7y + 3z - 8 = 0$.
Вектор нормали $\vec{N}$ к этой плоскости имеет координаты, равные коэффициентам при $x, y, z$. Таким образом, $\vec{N} = (1; -7; 3)$.

2. Прямая BC проходит через точки $B(3; -4; n)$ и $C(2; -2; 1)$.
Направляющим вектором прямой BC является вектор $\vec{BC}$. Найдем его координаты: $\vec{BC} = (x_C - x_B; y_C - y_B; z_C - z_B) = (2 - 3; -2 - (-4); 1 - n) = (-1; 2; 1 - n)$.

3. Условие перпендикулярности векторов $\vec{N}$ и $\vec{BC}$ заключается в том, что их скалярное произведение равно нулю: $\vec{N} \cdot \vec{BC} = 0$.
Запишем это условие в координатной форме: $1 \cdot (-1) + (-7) \cdot 2 + 3 \cdot (1 - n) = 0$.

4. Решим полученное уравнение относительно $n$: $-1 - 14 + 3(1 - n) = 0$ $-15 + 3 - 3n = 0$ $-12 - 3n = 0$ $3n = -12$ $n = \frac{-12}{3}$ $n = -4$.

Ответ: -4

98. При каких значениях $a$ и $b$ плоскость $ax + by - 2z + 9 = 0$ будет перпендикулярна прямой AB, если $A (9; -3; 14)$, $B (12; -7; 15)$?

98. При каких значениях $a$ и $b$ плоскость $ax + by - 2z + 9 = 0$ будет перпендикулярна прямой $AB$, если $A(9; -3; 14)$, $B(12; -7; 15)$?

Для того чтобы плоскость была перпендикулярна прямой, необходимо и достаточно, чтобы ее нормальный вектор был коллинеарен (параллелен) направляющему вектору этой прямой.

1. Найдем нормальный вектор $\vec{n}$ для плоскости $ax + by - 2z + 9 = 0$. Его координаты равны коэффициентам при $x$, $y$ и $z$ в уравнении плоскости.
$\vec{n} = (a; b; -2)$

2. Найдем направляющий вектор $\vec{v}$ прямой AB. Для этого найдем координаты вектора $\vec{AB}$, вычтя из координат точки B координаты точки A:
$A(9; -3; 14)$, $B(12; -7; 15)$
$\vec{v} = \vec{AB} = (12 - 9; -7 - (-3); 15 - 14) = (3; -4; 1)$

3. Условие коллинеарности векторов $\vec{n}$ и $\vec{v}$ означает, что их координаты пропорциональны. То есть, существует такое число $k \neq 0$, для которого выполняется равенство $\vec{n} = k \cdot \vec{v}$.
Запишем это равенство в координатной форме:
$(a; b; -2) = k \cdot (3; -4; 1)$
Это равносильно системе уравнений:
$ \begin{cases} a = 3k \\ b = -4k \\ -2 = 1k \end{cases} $

4. Решим полученную систему. Из третьего уравнения находим значение $k$:
$k = -2$
Подставим найденное значение $k$ в первое и второе уравнения, чтобы найти $a$ и $b$:
$a = 3 \cdot (-2) = -6$
$b = -4 \cdot (-2) = 8$

Ответ: $a = -6$, $b = 8$.

99. Найдите уравнение образа плоскости $2x - y - z + 2 = 0$:

1) при симметрии относительно начала координат;

2) при параллельном переносе на вектор $\vec{a} (4; -3; 2)$;

3) при гомотетии с центром в начале координат и коэффициентом $k = 2$.

99. Найдите уравнение образа плоскости $2x - y - z + 2 = 0$:

1) при симметрии относительно начала координат;

2) при параллельном переносе на вектор $\vec{a}$ (4; -3; 2);

3) при гомотетии с центром в начале координат и коэффициентом $k = 2$.

Пусть исходная плоскость $\pi$ задана уравнением $2x - y - z + 2 = 0$. Чтобы найти уравнение образа плоскости, мы выразим старые координаты $(x, y, z)$ через новые $(x', y', z')$ и подставим их в исходное уравнение.

1) при симметрии относительно начала координат

При симметрии точки $M(x, y, z)$ относительно начала координат ее образом является точка $M'(x', y', z')$, координаты которой связаны следующими соотношениями:
$x' = -x$
$y' = -y$
$z' = -z$
Выразим старые координаты через новые:
$x = -x'$
$y = -y'$
$z = -z'$
Подставим эти выражения в уравнение исходной плоскости:
$2(-x') - (-y') - (-z') + 2 = 0$
$-2x' + y' + z' + 2 = 0$
Для удобства умножим все уравнение на $-1$:
$2x' - y' - z' - 2 = 0$
Заменив $x', y', z'$ на $x, y, z$, получим уравнение образа плоскости.

Ответ: $2x - y - z - 2 = 0$

2) при параллельном переносе на вектор $\vec{a}$ (4; -3; 2)

При параллельном переносе точки $M(x, y, z)$ на вектор $\vec{a}(4, -3, 2)$ ее образом является точка $M'(x', y', z')$, координаты которой вычисляются по формулам:
$x' = x + 4$
$y' = y - 3$
$z' = z + 2$
Выразим старые координаты через новые:
$x = x' - 4$
$y = y' + 3$
$z = z' - 2$
Подставим эти выражения в уравнение исходной плоскости:
$2(x' - 4) - (y' + 3) - (z' - 2) + 2 = 0$
Раскроем скобки и упростим выражение:
$2x' - 8 - y' - 3 - z' + 2 + 2 = 0$
$2x' - y' - z' - 7 = 0$
Заменив $x', y', z'$ на $x, y, z$, получим искомое уравнение.

Ответ: $2x - y - z - 7 = 0$

3) при гомотетии с центром в начале координат и коэффициентом k = 2

При гомотетии точки $M(x, y, z)$ с центром в начале координат и коэффициентом $k=2$ ее образом является точка $M'(x', y', z')$, координаты которой связаны соотношениями:
$x' = kx = 2x$
$y' = ky = 2y$
$z' = kz = 2z$
Выразим старые координаты через новые:
$x = \frac{x'}{2}$
$y = \frac{y'}{2}$
$z = \frac{z'}{2}$
Подставим эти выражения в уравнение исходной плоскости:
$2\left(\frac{x'}{2}\right) - \left(\frac{y'}{2}\right) - \left(\frac{z'}{2}\right) + 2 = 0$
$x' - \frac{y'}{2} - \frac{z'}{2} + 2 = 0$
Умножим все уравнение на 2, чтобы избавиться от дробей:
$2x' - y' - z' + 4 = 0$
Заменив $x', y', z'$ на $x, y, z$, получим искомое уравнение.

Ответ: $2x - y - z + 4 = 0$

100. Площадь осевого сечения цилиндра равна 156 см2.

Найдите высоту цилиндра, если радиус его основания равен 6 см.

100. Площадь осевого сечения цилиндра равна 156 $см^2$. Найдите высоту цилиндра, если радиус его основания равен 6 см.

Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник, стороны которого равны высоте цилиндра $h$ и диаметру его основания $d$.

Площадь $S$ этого прямоугольника вычисляется по формуле:

$S = d \cdot h$

Диаметр основания $d$ равен двум радиусам $r$. Согласно условию задачи, радиус основания равен 6 см. Найдем диаметр:

$d = 2r = 2 \cdot 6 = 12$ см.

Площадь осевого сечения дана в условии: $S = 156$ см².

Теперь мы можем найти высоту $h$, подставив известные значения в формулу площади:

$156 = 12 \cdot h$

Выразим отсюда высоту:

$h = \frac{156}{12}$

$h = 13$ см.

Ответ: 13 см.

101. Диагональ осевого сечения цилиндра равна 8 см и образует с плоскостью основания угол $30^\circ$. Найдите высоту цилиндра и площадь его основания.

101. Диагональ осевого сечения цилиндра равна 8 см и образует с плоскостью основания угол $30^\circ$. Найдите высоту цилиндра и площадь его основания.

Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник. Стороны этого прямоугольника — это высота цилиндра $h$ и диаметр его основания $d$. Диагональ этого прямоугольника $D$ является гипотенузой в прямоугольном треугольнике, катетами которого являются высота $h$ и диаметр $d$.

По условию задачи, диагональ осевого сечения $D = 8$ см. Угол, который диагональ образует с плоскостью основания, — это угол между диагональю $D$ и диаметром основания $d$. Этот угол равен $30°$.

высоту цилиндра

В прямоугольном треугольнике, образованном высотой $h$, диаметром $d$ и диагональю $D$, высота $h$ является катетом, противолежащим углу в $30°$.

Согласно свойству прямоугольного треугольника, катет, лежащий напротив угла в $30°$, равен половине гипотенузы. Следовательно, мы можем найти высоту $h$:

$h = D \cdot \sin(30°) = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$ см.

Ответ: высота цилиндра равна 4 см.

площадь его основания

Чтобы найти площадь основания, сначала необходимо вычислить его радиус $r$. Радиус равен половине диаметра $d$. Диаметр $d$ является вторым катетом в рассматриваемом прямоугольном треугольнике, он прилежит к углу в $30°$.

Найдем диаметр $d$, используя косинус угла $30°$:

$d = D \cdot \cos(30°) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ см.

Теперь найдем радиус основания $r$:

$r = \frac{d}{2} = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$ см.

Площадь основания цилиндра (площадь круга) вычисляется по формуле $S = \pi r^2$. Подставим значение радиуса:

$S_{осн} = \pi \cdot (2\sqrt{3})^2 = \pi \cdot (4 \cdot 3) = 12\pi$ см².

Ответ: площадь основания цилиндра равна $12\pi$ см².

102. Радиус основания цилиндра равен 4 см, а его высота — 3 см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

102. Радиус основания цилиндра равен 4 см, а его высота — 3 см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Площадь боковой поверхности цилиндра ($S_{бок}$) вычисляется по формуле $S_{бок} = 2 \pi r h$, где $r$ — радиус основания цилиндра, а $h$ — его высота.

Из условия задачи известно, что радиус основания $r = 4$ см, а высота $h = 3$ см.

Подставим эти значения в формулу для нахождения площади боковой поверхности:
$S_{бок} = 2 \cdot \pi \cdot 4 \text{ см} \cdot 3 \text{ см}$
$S_{бок} = 24 \pi \text{ см}^2$

Ответ: $24 \pi \text{ см}^2$

103. Диагональ осевого сечения цилиндра равна 8 см и образует с плоскостью основания угол 60°. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

103. Диагональ осевого сечения цилиндра равна 8 см и образует с плоскостью основания угол $60^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник. Стороны этого прямоугольника — это высота цилиндра $h$ и диаметр его основания $D$. Диагональ этого прямоугольника, по условию, равна $d = 8$ см.

Угол, который диагональ осевого сечения образует с плоскостью основания, — это угол между самой диагональю и диаметром основания. Обозначим этот угол как $\alpha = 60^\circ$.

Таким образом, мы имеем прямоугольный треугольник, в котором:

• гипотенуза — диагональ осевого сечения $d = 8$ см;
• один катет — высота цилиндра $h$;
• второй катет — диаметр основания цилиндра $D$;
• угол между гипотенузой и катетом $D$ равен $\alpha = 60^\circ$.

Используя тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике, найдем высоту $h$ и диаметр $D$:

Высота $h$ является катетом, противолежащим углу $\alpha$, поэтому:
$h = d \cdot \sin(\alpha) = 8 \cdot \sin(60^\circ) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ см.

Диаметр $D$ является катетом, прилежащим к углу $\alpha$, поэтому:
$D = d \cdot \cos(\alpha) = 8 \cdot \cos(60^\circ) = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$ см.

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле:$S_{бок} = \pi D h$

Подставим найденные значения $D$ и $h$ в формулу:$S_{бок} = \pi \cdot 4 \cdot 4\sqrt{3} = 16\pi\sqrt{3}$ см².

Ответ: $16\pi\sqrt{3}$ см².

104. Прямоугольник со сторонами 8 см и 10 см вращается вокруг меньшей стороны. Найдите площадь полной поверхности полученного тела вращения.

104. Прямоугольник со сторонами 8 см и 10 см вращается вокруг меньшей стороны. Найдите площадь полной поверхности полученного тела вращения.

При вращении прямоугольника вокруг одной из его сторон образуется тело вращения, которое называется цилиндром.

В условии задачи указано, что прямоугольник со сторонами 8 см и 10 см вращается вокруг меньшей стороны. Это означает, что:

• Высота полученного цилиндра (h) будет равна длине меньшей стороны, то есть $h = 8$ см.
• Радиус основания цилиндра (r) будет равен длине большей стороны, то есть $r = 10$ см.

Площадь полной поверхности цилиндра ($S_{полн}$) складывается из площади двух оснований ($S_{осн}$) и площади боковой поверхности ($S_{бок}$). Формула для вычисления площади полной поверхности цилиндра:

$S_{полн} = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок}$

Площадь одного основания (круга) вычисляется по формуле:

$S_{осн} = \pi r^2$

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле:

$S_{бок} = 2\pi rh$

Таким образом, общая формула для площади полной поверхности цилиндра:

$S_{полн} = 2\pi r^2 + 2\pi rh = 2\pi r(r+h)$

Теперь подставим наши значения $r=10$ см и $h=8$ см в формулу:

$S_{полн} = 2\pi \cdot 10 \cdot (10 + 8)$

$S_{полн} = 20\pi \cdot (18)$

$S_{полн} = 360\pi$ см²

Ответ: $360\pi$ см².

105. Прямоугольник $ABCD$ является развёрткой боковой поверхности цилиндра, $AC = 8$ см, $\angle ACD = 30^\circ$. Найдите площадь полной поверхности цилиндра, если меньшая сторона прямоугольника $ABCD$ является высотой цилиндра.

105. Прямоугольник $ABCD$ является развёрткой боковой поверхности цилиндра, $AC = 8$ см, $\angle ACD = 30^\circ$. Найдите площадь полной поверхности цилиндра, если меньшая сторона прямоугольника $ABCD$ является высотой цилиндра.

Разверткой боковой поверхности цилиндра является прямоугольник ABCD. Его стороны равны высоте цилиндра $h$ и длине окружности основания $C$. Площадь полной поверхности цилиндра $S_{полн}$ находится по формуле $S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн}$, где $S_{бок}$ — площадь боковой поверхности (площадь прямоугольника), а $S_{осн}$ — площадь основания.

1. Найдем стороны прямоугольника ABCD.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ADC$, где $\angle D = 90^\circ$. По условию, гипотенуза $AC = 8$ см, а $\angle ACD = 30^\circ$.
Катет $AD$, противолежащий углу $30^\circ$, равен половине гипотенузы:
$AD = AC \cdot \sin(30^\circ) = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$ см.
Катет $CD$, прилежащий к углу $30^\circ$, равен:
$CD = AC \cdot \cos(30^\circ) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ см.

2. Определим высоту и длину окружности основания цилиндра.
По условию, высота цилиндра $h$ равна меньшей стороне прямоугольника. Сравним длины сторон $AD$ и $CD$:
$AD = 4$ см.
$CD = 4\sqrt{3} \approx 4 \cdot 1.732 = 6.928$ см.
Так как $4 < 4\sqrt{3}$, то меньшая сторона — $AD$.
Следовательно, высота цилиндра $h = AD = 4$ см.
Длина окружности основания цилиндра $C$ равна большей стороне прямоугольника: $C = CD = 4\sqrt{3}$ см.

3. Найдем площадь боковой поверхности и площадь основания.
Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ равна площади прямоугольника-развертки:
$S_{бок} = AD \cdot CD = 4 \cdot 4\sqrt{3} = 16\sqrt{3}$ см$^2$.
Найдем радиус основания $r$ из формулы длины окружности $C = 2\pi r$:
$r = \frac{C}{2\pi} = \frac{4\sqrt{3}}{2\pi} = \frac{2\sqrt{3}}{\pi}$ см.
Теперь найдем площадь одного основания $S_{осн}$ по формуле $S_{осн} = \pi r^2$:
$S_{осн} = \pi \cdot \left(\frac{2\sqrt{3}}{\pi}\right)^2 = \pi \cdot \frac{4 \cdot 3}{\pi^2} = \frac{12}{\pi}$ см$^2$.

4. Найдем площадь полной поверхности цилиндра.
$S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн} = 16\sqrt{3} + 2 \cdot \frac{12}{\pi} = 16\sqrt{3} + \frac{24}{\pi}$ см$^2$.

Ответ: $16\sqrt{3} + \frac{24}{\pi}$ см$^2$.