Номер 105, страница 13 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

105. Прямоугольник $ABCD$ является развёрткой боковой поверхности цилиндра, $AC = 8$ см, $\angle ACD = 30^\circ$. Найдите площадь полной поверхности цилиндра, если меньшая сторона прямоугольника $ABCD$ является высотой цилиндра.

105. Прямоугольник $ABCD$ является развёрткой боковой поверхности цилиндра, $AC = 8$ см, $\angle ACD = 30^\circ$. Найдите площадь полной поверхности цилиндра, если меньшая сторона прямоугольника $ABCD$ является высотой цилиндра.

Разверткой боковой поверхности цилиндра является прямоугольник ABCD. Его стороны равны высоте цилиндра $h$ и длине окружности основания $C$. Площадь полной поверхности цилиндра $S_{полн}$ находится по формуле $S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн}$, где $S_{бок}$ — площадь боковой поверхности (площадь прямоугольника), а $S_{осн}$ — площадь основания.

1. Найдем стороны прямоугольника ABCD.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ADC$, где $\angle D = 90^\circ$. По условию, гипотенуза $AC = 8$ см, а $\angle ACD = 30^\circ$.
Катет $AD$, противолежащий углу $30^\circ$, равен половине гипотенузы:
$AD = AC \cdot \sin(30^\circ) = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$ см.
Катет $CD$, прилежащий к углу $30^\circ$, равен:
$CD = AC \cdot \cos(30^\circ) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ см.

2. Определим высоту и длину окружности основания цилиндра.
По условию, высота цилиндра $h$ равна меньшей стороне прямоугольника. Сравним длины сторон $AD$ и $CD$:
$AD = 4$ см.
$CD = 4\sqrt{3} \approx 4 \cdot 1.732 = 6.928$ см.
Так как $4 < 4\sqrt{3}$, то меньшая сторона — $AD$.
Следовательно, высота цилиндра $h = AD = 4$ см.
Длина окружности основания цилиндра $C$ равна большей стороне прямоугольника: $C = CD = 4\sqrt{3}$ см.

3. Найдем площадь боковой поверхности и площадь основания.
Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ равна площади прямоугольника-развертки:
$S_{бок} = AD \cdot CD = 4 \cdot 4\sqrt{3} = 16\sqrt{3}$ см$^2$.
Найдем радиус основания $r$ из формулы длины окружности $C = 2\pi r$:
$r = \frac{C}{2\pi} = \frac{4\sqrt{3}}{2\pi} = \frac{2\sqrt{3}}{\pi}$ см.
Теперь найдем площадь одного основания $S_{осн}$ по формуле $S_{осн} = \pi r^2$:
$S_{осн} = \pi \cdot \left(\frac{2\sqrt{3}}{\pi}\right)^2 = \pi \cdot \frac{4 \cdot 3}{\pi^2} = \frac{12}{\pi}$ см$^2$.

4. Найдем площадь полной поверхности цилиндра.
$S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн} = 16\sqrt{3} + 2 \cdot \frac{12}{\pi} = 16\sqrt{3} + \frac{24}{\pi}$ см$^2$.

Ответ: $16\sqrt{3} + \frac{24}{\pi}$ см$^2$.