Номер 111, страница 14 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

111. Прямоугольник $AA_1B_1B$ — осевое сечение цилиндра, отрезок $CC_1$ — образующая цилиндра. Угол между плоскостями $AA_1B$ и $AA_1C$ равен $30^\circ$. Площадь сечения цилиндра плоскостью $AA_1C$ равна $S$. Найдите площадь осевого сечения цилиндра.

111. Прямоугольник $AA_1B_1B$ — осевое сечение цилиндра, отрезок $CC_1$ — образующая цилиндра. Угол между плоскостями $AA_1B$ и $AA_1C$ равен $30^\circ$. Площадь сечения цилиндра плоскостью $AA_1C$ равна $S$. Найдите площадь осевого сечения цилиндра.

Пусть $H$ — высота цилиндра, а $R$ — радиус его основания. Прямоугольник $AA_1B_1B$ является осевым сечением, следовательно, его стороны равны высоте цилиндра $AA_1 = H$ и диаметру основания $AB = 2R$. Площадь осевого сечения, которую необходимо найти, равна $S_{осев} = AB \cdot AA_1 = 2RH$.

Сечение цилиндра плоскостью $AA_1C$ образует прямоугольник $AA_1C_1C$, где $AA_1$ — образующая (равная высоте $H$), а $AC$ — хорда в основании цилиндра. По условию, площадь этого сечения равна $S$. Таким образом, $S = AC \cdot AA_1 = AC \cdot H$. Из этой формулы мы можем выразить длину хорды $AC$: $AC = \frac{S}{H}$.

Угол между плоскостями $(AA_1B)$ и $(AA_1C)$ определяется углом между прямыми, проведенными в этих плоскостях перпендикулярно их линии пересечения $AA_1$. Поскольку образующая $AA_1$ перпендикулярна плоскости основания, то отрезки $AB$ и $AC$, лежащие в основании, перпендикулярны $AA_1$. Следовательно, угол между плоскостями равен углу между этими отрезками в основании, то есть $\angle BAC$. По условию, $\angle BAC = 30^\circ$.

Рассмотрим основание цилиндра. В нем находится треугольник $ABC$. Так как $AB$ является диаметром окружности основания, а точка $C$ лежит на этой окружности, треугольник $ABC$ является прямоугольным с прямым углом $\angle ACB = 90^\circ$. В этом прямоугольном треугольнике катет $AC$ и гипотенуза $AB$ связаны соотношением:$AC = AB \cdot \cos(\angle BAC)$.

Подставим известные значения: $AB = 2R$ и $\angle BAC = 30^\circ$.$AC = 2R \cdot \cos(30^\circ) = 2R \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = R\sqrt{3}$.

Теперь у нас есть два выражения для $AC$: $AC = \frac{S}{H}$ и $AC = R\sqrt{3}$. Приравнивая их, получаем:$\frac{S}{H} = R\sqrt{3}$.

Выразим из этого равенства произведение $RH$, которое нам понадобится для вычисления площади осевого сечения:$RH = \frac{S}{\sqrt{3}}$.

Теперь найдем площадь осевого сечения $S_{осев}$:$S_{осев} = 2RH = 2 \cdot \frac{S}{\sqrt{3}} = \frac{2S}{\sqrt{3}}$.

Для удобства избавимся от иррациональности в знаменателе, домножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:$S_{осев} = \frac{2S \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{2S\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $\frac{2S\sqrt{3}}{3}$.