Номер 113, страница 15 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

113. Точки $O$ и $O_1$ — центры соответственно нижнего и верхнего оснований цилиндра. Радиус основания цилиндра равен 6 см, а высота — 12 см. Через середину образующей цилиндра проведена прямая, пересекающая отрезок $OO_1$ и пересекающая плоскость нижнего основания в точке, удалённой на 3 см от точки $O$. В каком отношении проведённая прямая делит отрезок $OO_1$, считая от точки $O$?

113. Точки $O$ и $O_1$ — центры соответственно нижнего и верхнего оснований цилиндра. Радиус основания цилиндра равен 6 см, а высота — 12 см. Через середину образующей цилиндра проведена прямая, пересекающая отрезок $OO_1$ и пересекающая плоскость нижнего основания в точке, удалённой на 3 см от точки O. В каком отношении проведённая прямая делит отрезок $OO_1$, считая от точки O?

Для решения задачи рассмотрим осевое сечение цилиндра, проходящее через заданную образующую и точку пересечения искомой прямой с плоскостью нижнего основания. Это позволит свести трехмерную задачу к планиметрической.

Введем прямоугольную систему координат, в которой ось ординат ($Oy$) совпадает с осью цилиндра $OO_1$, а ось абсцисс ($Ox$) лежит в плоскости нижнего основания. Центр нижнего основания $O$ будет в начале координат $(0,0)$.

• Координаты центра нижнего основания: $O(0,0)$.
• Высота цилиндра $H = 12$ см, поэтому координаты центра верхнего основания: $O_1(0,12)$.
• Радиус основания $R = 6$ см.

Пусть образующая, через середину которой проходит прямая, лежит в нашей плоскости сечения. Ее можно представить как отрезок $AB$, где $A$ лежит на окружности нижнего основания, а $B$ — на окружности верхнего. Координаты этих точек: $A(6,0)$ и $B(6,12)$.

Середина этой образующей, точка $M$, будет иметь координаты:$M = \left(\frac{6+6}{2}, \frac{0+12}{2}\right) = (6,6)$.

Проведенная прямая проходит через точку $M$ и пересекает плоскость нижнего основания (ось $Ox$) в точке $P$, удаленной на 3 см от точки $O$. Таким образом, точка $P$ имеет координаты $(x_P, 0)$, где $|x_P|=3$. Возможны два случая: $P(3,0)$ или $P(-3,0)$.

Эта же прямая пересекает отрезок $OO_1$ (ось $Oy$ на участке от 0 до 12) в некоторой точке $K$. Найдем, какой из двух случаев для точки $P$ возможен.

1. Случай 1: $P(3,0)$.

   Прямая проходит через точки $M(6,6)$ и $P(3,0)$. Уравнение этой прямой: $\frac{y-0}{x-3} = \frac{6-0}{6-3} = \frac{6}{3} = 2$. Отсюда $y = 2(x-3)$. Для нахождения точки пересечения с осью $Oy$ (отрезком $OO_1$), подставим $x=0$: $y = 2(0-3) = -6$. Точка пересечения $K$ имеет координаты $(0,-6)$. Эта точка не принадлежит отрезку $OO_1$, который лежит в диапазоне $y \in [0, 12]$. Следовательно, этот случай не соответствует условию задачи.

2. Случай 2: $P(-3,0)$.

   Прямая проходит через точки $M(6,6)$ и $P(-3,0)$. Уравнение этой прямой: $\frac{y-0}{x-(-3)} = \frac{6-0}{6-(-3)} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$. Отсюда $y = \frac{2}{3}(x+3)$. Для нахождения точки пересечения с осью $Oy$, подставим $x=0$: $y = \frac{2}{3}(0+3) = 2$. Точка пересечения $K$ имеет координаты $(0,2)$. Поскольку $0 \le 2 \le 12$, эта точка принадлежит отрезку $OO_1$. Этот случай соответствует условию задачи.

Итак, точка $K$ делит отрезок $OO_1$ на два отрезка: $OK$ и $KO_1$. Длина отрезка $OK$ равна ординате точки $K$, то есть $OK=2$ см.

Длина всего отрезка $OO_1$ равна высоте цилиндра, то есть $OO_1 = 12$ см.

Тогда длина второго отрезка $KO_1$ равна:$KO_1 = OO_1 - OK = 12 - 2 = 10$ см.

Искомое отношение, считая от точки $O$, равно:$\frac{OK}{KO_1} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.

Альтернативное решение через подобные треугольники:

Рассмотрим треугольники $\triangle POK$ и $\triangle MM'K$, где $M'$ — проекция точки $M$ на ось $OO_1$. Координаты $M'$ — $(0,6)$.

• Треугольник $\triangle POK$ — прямоугольный с катетами $PO = |-3| = 3$ и $OK$.
• Треугольник $\triangle MM'K$ — прямоугольный с катетами $MM' = 6$ и $M'K = OM' - OK = 6 - OK$.

Углы $\angle PKO$ и $\angle MKM'$ являются вертикальными, следовательно, они равны. Поскольку оба треугольника прямоугольные, они подобны по острому углу ($\triangle POK \sim \triangle MM'K$).

Из подобия треугольников следует отношение соответственных сторон:

$\frac{PO}{MM'} = \frac{OK}{M'K}$

Подставляем известные значения:

$\frac{3}{6} = \frac{OK}{6 - OK}$

$\frac{1}{2} = \frac{OK}{6 - OK}$

$1 \cdot (6 - OK) = 2 \cdot OK$

$6 - OK = 2 \cdot OK$

$6 = 3 \cdot OK$

$OK = 2$ см.

Тогда $KO_1 = 12 - 2 = 10$ см.

Отношение $OK:KO_1 = 2:10 = 1:5$.

Ответ: 1:5.