Номер 119, страница 16 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

119. Основанием призмы является равнобокая трапеция, основания которой равны 11 см и 21 см, а высота — 12 см. Угол между диагональю призмы и плоскостью основания равен $30^\circ$. Найдите площадь осевого сечения цилиндра, описанного около данной призмы.

119. Основанием призмы является равнобокая трапеция, основания которой равны 11 см и 21 см, а высота — 12 см. Угол между диагональю призмы и плоскостью основания равен 30°. Найдите площадь осевого сечения цилиндра, описанного около данной призмы.

Для нахождения площади осевого сечения цилиндра, описанного около призмы, необходимо определить диаметр основания цилиндра и его высоту.

1. Нахождение диаметра основания цилиндра

Основанием цилиндра является окружность, описанная около основания призмы — равнобокой трапеции. Диаметр этой окружности и будет диаметром цилиндра. Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD=21$ см, $BC=11$ см и высотой $h=12$ см.

Радиус окружности, описанной около трапеции, совпадает с радиусом окружности, описанной около треугольника, образованного ее диагональю и двумя сторонами (например, $\triangle ACD$). Найдем длину диагонали $AC$ и боковой стороны $CD$.

Проведем из вершины $C$ высоту $CH$ на основание $AD$. В равнобокой трапеции отрезок $HD$ вычисляется как полуразность оснований:

$HD = \frac{AD - BC}{2} = \frac{21 - 11}{2} = 5$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle CHD$. По теореме Пифагора найдем боковую сторону $CD$:

$CD = \sqrt{CH^2 + HD^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$ см.

Отрезок $AH$ равен $AD - HD = 21 - 5 = 16$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ACH$. По теореме Пифагора найдем диагональ $AC$:

$AC = \sqrt{AH^2 + CH^2} = \sqrt{16^2 + 12^2} = \sqrt{256 + 144} = \sqrt{400} = 20$ см.

Теперь найдем радиус $R$ окружности, описанной около треугольника $\triangle ACD$ со сторонами $AC=20$ см, $CD=13$ см, $AD=21$ см. Сначала найдем площадь этого треугольника:

$S_{\triangle ACD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot CH = \frac{1}{2} \cdot 21 \cdot 12 = 126$ см$^2$.

Радиус описанной окружности вычисляется по формуле:

$R = \frac{AC \cdot CD \cdot AD}{4 \cdot S_{\triangle ACD}} = \frac{20 \cdot 13 \cdot 21}{4 \cdot 126} = \frac{5460}{504} = \frac{65}{6}$ см.

Тогда диаметр основания цилиндра $D$ равен:

$D = 2R = 2 \cdot \frac{65}{6} = \frac{65}{3}$ см.

2. Нахождение высоты цилиндра

Высота цилиндра $H_{цил}$ равна высоте призмы $H_{пр}$. Диагональ призмы, ее проекция на плоскость основания (которая является диагональю основания) и высота призмы образуют прямоугольный треугольник. В нашем случае это треугольник с катетами $H_{пр}$ и $AC$, и гипотенузой — диагональю призмы.

Угол между диагональю призмы и плоскостью основания по условию равен $30^\circ$. Из этого прямоугольного треугольника имеем:

$\tan(30^\circ) = \frac{H_{пр}}{AC}$

$H_{пр} = AC \cdot \tan(30^\circ) = 20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{20\sqrt{3}}{3}$ см.

Следовательно, высота цилиндра $H_{цил} = \frac{20\sqrt{3}}{3}$ см.

3. Нахождение площади осевого сечения цилиндра

Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник со сторонами, равными диаметру основания $D$ и высоте цилиндра $H_{цил}$. Его площадь $S_{сеч}$ равна:

$S_{сеч} = D \cdot H_{цил} = \frac{65}{3} \cdot \frac{20\sqrt{3}}{3} = \frac{1300\sqrt{3}}{9}$ см$^2$.

Ответ: $\frac{1300\sqrt{3}}{9}$ см$^2$.