Номер 125, страница 16 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

125. Основанием призмы является ромб, большая диагональ которого равна $d$, а острый угол равен $\alpha$. Меньшая диагональ призмы образует с плоскостью основания угол $\beta$. Найдите площадь осевого сечения цилиндра, вписанного в эту призму.

125. Основанием призмы является ромб, большая диагональ которого равна $d$, а острый угол равен $\alpha$. Меньшая диагональ призмы образует с плоскостью основания угол $\beta$. Найдите площадь осевого сечения цилиндра, вписанного в эту призму.

Площадь осевого сечения вписанного цилиндра $S$ равна произведению его диаметра $D_{ц}$ на высоту $H_{ц}$.

$S = D_{ц} \cdot H_{ц}$

Поскольку цилиндр вписан в прямую призму, его высота $H_{ц}$ равна высоте призмы $H$, а его основание (окружность) вписано в основание призмы (ромб).

1. Найдем диаметр основания цилиндра $D_{ц}$.

Диаметр окружности, вписанной в ромб, равен высоте этого ромба $h_{р}$. Пусть сторона ромба равна $a$. Площадь ромба можно выразить двумя способами: $S_{р} = a^2 \sin(\alpha)$ и $S_{р} = a \cdot h_{р}$. Отсюда $h_{р} = a \sin(\alpha)$.
Найдем сторону ромба $a$. Диагонали ромба делят его на четыре равных прямоугольных треугольника. Углы этих треугольников равны $\frac{\alpha}{2}$, $90^{\circ} - \frac{\alpha}{2}$ и $90^{\circ}$. Катеты равны половинам диагоналей. Большая диагональ ромба $d$ лежит против тупого угла $180^{\circ} - \alpha$. В прямоугольном треугольнике катет, равный половине большой диагонали $\frac{d}{2}$, прилежит к углу $\frac{\alpha}{2}$. Тогда:

$\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{d/2}{a} \implies a = \frac{d}{2\cos(\frac{\alpha}{2})}$

Теперь найдем высоту ромба $h_{р}$:

$h_{р} = a \sin(\alpha) = \frac{d}{2\cos(\frac{\alpha}{2})} \cdot \sin(\alpha)$

Используя формулу синуса двойного угла $\sin(\alpha) = 2\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})$, получаем:

$h_{р} = \frac{d}{2\cos(\frac{\alpha}{2})} \cdot 2\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2}) = d \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

Следовательно, диаметр цилиндра:

$D_{ц} = h_{р} = d \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

2. Найдем высоту призмы $H$.

Меньшая диагональ призмы образует с плоскостью основания угол $\beta$. Проекцией меньшей диагонали призмы на плоскость основания является меньшая диагональ ромба $d_{м}$. Высота призмы $H$, меньшая диагональ ромба $d_{м}$ и меньшая диагональ призмы образуют прямоугольный треугольник, в котором $H$ и $d_{м}$ — катеты, а угол $\beta$ лежит против катета $H$.

Отсюда: $\tan(\beta) = \frac{H}{d_{м}} \implies H = d_{м} \tan(\beta)$

Найдем меньшую диагональ ромба $d_{м}$. В том же прямоугольном треугольнике, который мы рассматривали ранее, катет, равный половине меньшей диагонали $\frac{d_{м}}{2}$, лежит против угла $\frac{\alpha}{2}$.

$\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{d_{м}/2}{d/2} = \frac{d_{м}}{d} \implies d_{м} = d \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

Теперь можем найти высоту призмы (и цилиндра):

$H = H_{ц} = d_{м} \tan(\beta) = d \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) \tan(\beta)$

3. Найдем площадь осевого сечения цилиндра.

$S = D_{ц} \cdot H_{ц} = \left(d \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right) \cdot \left(d \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) \tan(\beta)\right)$

$S = d^2 \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) \tan(\beta)$

Так как $\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$, можем переписать формулу:

$S = d^2 \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) \frac{\sin(\frac{\alpha}{2})}{\cos(\frac{\alpha}{2})} \tan(\beta) = d^2 \frac{\sin^2(\frac{\alpha}{2})}{\cos(\frac{\alpha}{2})} \tan(\beta)$

Ответ: $d^2 \tan(\beta) \frac{\sin^2(\alpha/2)}{\cos(\alpha/2)}$