Номер 130, страница 17 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

130. Высота конуса равна 12 см, а разность образующей и радиуса основания равна 8 см. Найдите площадь осевого сечения конуса.

130. Высота конуса равна 12 см, а разность образующей и радиуса основания равна 8 см. Найдите площадь осевого сечения конуса.

Обозначим высоту конуса как $h$, радиус его основания как $r$, а образующую как $l$.

Согласно условию задачи, высота конуса $h = 12$ см. Разность между образующей и радиусом составляет 8 см, что можно записать в виде уравнения: $l - r = 8$.

Высота, радиус и образующая конуса образуют прямоугольный треугольник, в котором образующая $l$ является гипотенузой, а высота $h$ и радиус $r$ — катетами. По теореме Пифагора их связывает соотношение:

$l^2 = h^2 + r^2$

Для нахождения радиуса $r$ необходимо решить систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

$ \begin{cases} l - r = 8 \\ l^2 = 12^2 + r^2 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $l$ через $r$:

$l = r + 8$

Теперь подставим это выражение во второе уравнение системы:

$(r + 8)^2 = 144 + r^2$

Раскроем скобки в левой части уравнения, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$r^2 + 2 \cdot r \cdot 8 + 8^2 = 144 + r^2$

$r^2 + 16r + 64 = 144 + r^2$

Сократим $r^2$ в обеих частях уравнения и решим полученное линейное уравнение:

$16r + 64 = 144$

$16r = 144 - 64$

$16r = 80$

$r = \frac{80}{16} = 5$ см.

Таким образом, радиус основания конуса равен 5 см.

Осевое сечение конуса — это равнобедренный треугольник, основание которого равно диаметру основания конуса ($d = 2r$), а высота — высоте конуса ($h$).

Площадь осевого сечения ($S_{сеч}$) находится по формуле площади треугольника:

$S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot d \cdot h = \frac{1}{2} \cdot (2r) \cdot h = r \cdot h$

Подставим найденное значение радиуса $r=5$ см и заданное значение высоты $h=12$ см:

$S_{сеч} = 5 \text{ см} \cdot 12 \text{ см} = 60 \text{ см}^2$

Ответ: 60 см².