Номер 136, страница 17 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

136. Через две образующие конуса, угол между которыми равен $ \varphi $, проведено сечение. Найдите площадь этого сечения, если высота конуса равна $ h $, а угол между высотой конуса и его образующей равен $ \alpha $.

136. Через две образующие конуса, угол между которыми равен $ \varphi $, проведено сечение. Найдите площадь этого сечения, если высота конуса равна $ h $, а угол между высотой конуса и его образующей равен $ \alpha $.

Сечение конуса, проходящее через две его образующие, представляет собой равнобедренный треугольник. Боковыми сторонами этого треугольника являются образующие конуса, а основанием — хорда в основании конуса.

Пусть длина образующей конуса равна $L$. По условию, угол между двумя образующими, образующими сечение, равен $\phi$. Площадь этого треугольника (сечения) можно найти по формуле площади треугольника через две стороны и угол между ними: $S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot L \cdot L \cdot \sin\phi = \frac{1}{2} L^2 \sin\phi$.

Теперь нам нужно найти длину образующей $L$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса $h$, его образующей $L$ и радиусом основания $r$. В этом треугольнике $h$ и $r$ являются катетами, а $L$ — гипотенузой. Угол между высотой $h$ (прилежащий катет) и образующей $L$ (гипотенуза) по условию равен $\alpha$.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике мы знаем, что косинус угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе: $\cos\alpha = \frac{h}{L}$.

Выразим из этой формулы длину образующей $L$: $L = \frac{h}{\cos\alpha}$.

Подставим найденное выражение для $L$ в формулу для площади сечения: $S_{сеч} = \frac{1}{2} \left(\frac{h}{\cos\alpha}\right)^2 \sin\phi = \frac{1}{2} \frac{h^2}{\cos^2\alpha} \sin\phi$.

Таким образом, искомая площадь сечения равна $\frac{h^2 \sin\phi}{2\cos^2\alpha}$.

Ответ: $\frac{h^2 \sin\phi}{2\cos^2\alpha}$.