Номер 141, страница 18 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

141. Развёртка боковой поверхности конуса — сектор, центральный угол которого равен 120°. Найдите площадь полной поверхности конуса, если периметр его осевого сечения равен 24 см.

141. Развёртка боковой поверхности конуса — сектор, центральный угол которого равен $120^\circ$. Найдите площадь полной поверхности конуса, если периметр его осевого сечения равен 24 см.

Пусть $l$ - образующая конуса (которая также является радиусом сектора развёртки), $r$ - радиус основания конуса, а $\alpha$ - центральный угол сектора развёртки боковой поверхности.

Длина дуги сектора развёртки равна длине окружности основания конуса. Длина дуги сектора вычисляется по формуле $L_{дуги} = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi l$. Длина окружности основания конуса равна $C = 2\pi r$.

Приравнивая эти две величины и подставляя известный угол $\alpha = 120^\circ$, получаем соотношение между $r$ и $l$: $2\pi r = \frac{120^\circ}{360^\circ} \cdot 2\pi l$

Сократив $2\pi$ в обеих частях уравнения, получим: $r = \frac{1}{3} l$, что эквивалентно $l = 3r$.

Осевое сечение конуса является равнобедренным треугольником, боковые стороны которого равны образующей $l$, а основание равно диаметру основания конуса $2r$.

Периметр осевого сечения $P$ равен сумме длин его сторон: $P = l + l + 2r = 2l + 2r$.

По условию задачи, периметр равен 24 см: $2l + 2r = 24$

Разделив обе части уравнения на 2, получим: $l + r = 12$.

Теперь у нас есть система из двух уравнений для нахождения $r$ и $l$: 1) $l = 3r$ 2) $l + r = 12$

Подставим выражение для $l$ из первого уравнения во второе: $3r + r = 12$ $4r = 12$ $r = 3$ см.

Зная радиус, найдем образующую: $l = 3r = 3 \cdot 3 = 9$ см.

Площадь полной поверхности конуса $S_{полн}$ вычисляется как сумма площади основания $S_{осн}$ и площади боковой поверхности $S_{бок}$: $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = \pi r^2 + \pi r l = \pi r(r + l)$.

Подставим найденные значения $r=3$ см и $l=9$ см в формулу. Также можно использовать ранее найденное соотношение $r+l=12$: $S_{полн} = \pi \cdot 3 \cdot (3 + 9) = \pi \cdot 3 \cdot 12 = 36\pi$ см².

Ответ: $36\pi$ см².