Номер 143, страница 18 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

143. Стороны треугольника равны 13 см, 20 см и 21 см. Он вращается вокруг прямой, содержащей наибольшую из его сторон. Найдите площадь поверхности тела вращения.

143. Стороны треугольника равны 13 см, 20 см и 21 см. Он вращается вокруг прямой, содержащей наибольшую из его сторон. Найдите площадь поверхности тела вращения.

Пусть стороны треугольника равны $a = 13$ см, $b = 20$ см и $c = 21$ см. Вращение происходит вокруг прямой, содержащей наибольшую сторону, то есть сторону $c = 21$ см.

Тело, полученное в результате вращения треугольника вокруг одной из его сторон, представляет собой два конуса, соединенных основаниями. Площадь поверхности этого тела равна сумме площадей боковых поверхностей этих двух конусов.

Образующими конусов являются две меньшие стороны треугольника: $l_1 = a = 13$ см и $l_2 = b = 20$ см. Радиус общего основания конусов ($R$) равен высоте треугольника ($h_c$), опущенной на наибольшую сторону $c$.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi R l$. Таким образом, искомая площадь поверхности тела вращения: $S = S_{бок1} + S_{бок2} = \pi R l_1 + \pi R l_2 = \pi R (l_1 + l_2)$

Чтобы найти радиус $R = h_c$, сначала вычислим площадь треугольника по формуле Герона. Найдем полупериметр $p$: $p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{13+20+21}{2} = \frac{54}{2} = 27$ см.

Теперь вычислим площадь треугольника $A$: $A = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{27(27-13)(27-20)(27-21)}$ $A = \sqrt{27 \cdot 14 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{(3^3) \cdot (2 \cdot 7) \cdot 7 \cdot (2 \cdot 3)} = \sqrt{2^2 \cdot 3^4 \cdot 7^2}$ $A = 2 \cdot 3^2 \cdot 7 = 2 \cdot 9 \cdot 7 = 126$ см$^2$.

Площадь треугольника также можно найти по формуле $A = \frac{1}{2} c \cdot h_c$. Отсюда выразим высоту $h_c$: $h_c = \frac{2A}{c} = \frac{2 \cdot 126}{21} = \frac{252}{21} = 12$ см.

Таким образом, радиус основания конусов $R = 12$ см. Теперь можем найти площадь поверхности тела вращения: $S = \pi R (l_1 + l_2) = \pi \cdot 12 \cdot (13 + 20) = \pi \cdot 12 \cdot 33 = 396\pi$ см$^2$.

Ответ: $396\pi$ см$^2$.