Номер 138, страница 18 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

138. В основании конуса проведена хорда $AB$ на расстоянии 3 см от центра $O$ основания, отрезок $MO$ — высота конуса, $MO = 6\sqrt{2}$ см. Найдите расстояние от точки $O$ до плоскости $AMB$.

138. В основании конуса проведена хорда $AB$ на расстоянии 3 см от центра $O$ основания, отрезок $MO$ — высота конуса, $MO = 6\sqrt{2}$ см. Найдите расстояние от точки $O$ до плоскости $AMB$.

Пусть M - вершина конуса, а O - центр его основания. MO - высота конуса, и по условию $MO = 6\sqrt{2}$ см. В основании конуса проведена хорда AB.

Расстояние от центра основания O до хорды AB - это длина перпендикуляра, опущенного из точки O на хорду AB. Обозначим точку пересечения этого перпендикуляра с хордой AB как H. Тогда $OH \perp AB$ и по условию $OH = 3$ см.

Поскольку MO - высота конуса, она перпендикулярна плоскости основания, а значит, и любой прямой, лежащей в этой плоскости. В частности, $MO \perp OH$. Следовательно, треугольник MOH является прямоугольным, где $\angle MOH = 90^\circ$.

Искомое расстояние от точки O до плоскости AMB — это длина перпендикуляра, опущенного из точки O на эту плоскость.

Рассмотрим плоскость, проходящую через точки M, O и H. Так как $OH \perp AB$ по построению и $MO \perp AB$ (поскольку MO перпендикулярна всей плоскости основания, в которой лежит AB), то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая AB перпендикулярна плоскости MOH.

Плоскость AMB проходит через прямую AB, которая перпендикулярна плоскости MOH. Следовательно, по признаку перпендикулярности двух плоскостей, плоскость AMB перпендикулярна плоскости MOH.

Линией пересечения этих двух взаимно перпендикулярных плоскостей является прямая MH. Перпендикуляр из точки O (которая лежит в плоскости MOH) на плоскость AMB будет лежать в плоскости MOH и будет перпендикулярен линии их пересечения MH. Таким образом, искомое расстояние — это высота прямоугольного треугольника MOH, проведенная из вершины прямого угла O к гипотенузе MH.

Найдем длину гипотенузы MH в прямоугольном треугольнике MOH по теореме Пифагора:
$MH^2 = MO^2 + OH^2$
$MH^2 = (6\sqrt{2})^2 + 3^2 = 36 \cdot 2 + 9 = 72 + 9 = 81$
$MH = \sqrt{81} = 9$ см.

Пусть OK — высота треугольника MOH, проведенная к гипотенузе MH. Длину этой высоты можно найти, приравняв выражения для площади треугольника:
$S_{\triangle MOH} = \frac{1}{2} \cdot MO \cdot OH = \frac{1}{2} \cdot MH \cdot OK$
$MO \cdot OH = MH \cdot OK$
$OK = \frac{MO \cdot OH}{MH}$
Подставим известные значения:
$OK = \frac{6\sqrt{2} \cdot 3}{9} = \frac{18\sqrt{2}}{9} = 2\sqrt{2}$ см.

Ответ: $2\sqrt{2}$ см.