Номер 132, страница 17 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

132. Осевое сечение конуса — прямоугольный треугольник. Высота конуса равна 10 см. Найдите площадь полной поверхности конуса.

132. Осевое сечение конуса — прямоугольный треугольник. Высота конуса равна 10 см. Найдите площадь полной поверхности конуса.

Осевое сечение конуса – это равнобедренный треугольник, боковыми сторонами которого являются образующие конуса ($L$), а основанием – диаметр его основания ($D=2R$). Высота этого треугольника является высотой конуса ($H$).

По условию задачи, осевое сечение является прямоугольным треугольником. Поскольку боковые стороны (образующие $L$) равны, прямой угол может быть только при вершине конуса. Следовательно, осевое сечение – это равнобедренный прямоугольный треугольник.

Рассмотрим один из двух прямоугольных треугольников, на которые высота $H$ делит осевое сечение. Катетами этого треугольника являются высота конуса $H$ и радиус основания $R$, а гипотенузой – образующая $L$.

В равнобедренном прямоугольном треугольнике (осевом сечении) углы при основании равны $(180^\circ - 90^\circ) / 2 = 45^\circ$. Это означает, что угол между образующей и плоскостью основания конуса составляет $45^\circ$.

Таким образом, треугольник, образованный высотой $H$, радиусом $R$ и образующей $L$, является прямоугольным с одним из острых углов в $45^\circ$. Следовательно, этот треугольник также является равнобедренным, и его катеты равны: $H = R$.

По условию, высота конуса $H = 10$ см. Значит, радиус основания конуса $R$ также равен 10 см:

$R = 10$ см.

Теперь найдем длину образующей $L$ по теореме Пифагора:

$L^2 = H^2 + R^2$

$L^2 = 10^2 + 10^2 = 100 + 100 = 200$

$L = \sqrt{200} = \sqrt{100 \cdot 2} = 10\sqrt{2}$ см.

Площадь полной поверхности конуса вычисляется по формуле, которая включает в себя площадь основания ($S_{осн} = \pi R^2$) и площадь боковой поверхности ($S_{бок} = \pi R L$):

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = \pi R^2 + \pi R L = \pi R(R + L)$

Подставим найденные значения $R = 10$ см и $L = 10\sqrt{2}$ см в формулу:

$S_{полн} = \pi \cdot 10 \cdot (10 + 10\sqrt{2})$

Вынесем общий множитель 10 из скобок:

$S_{полн} = 10\pi \cdot 10(1 + \sqrt{2}) = 100\pi(1 + \sqrt{2})$ см$^2$.

Ответ: $100\pi(1 + \sqrt{2})$ см$^2$.