Страница 17 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

128. В правильную четырёхугольную призму вписан цилиндр, радиус основания которого равен $R$, а диагональ осевого сечения образует с плоскостью основания угол $\alpha$. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

128. В правильную четырёхугольную призму вписан цилиндр, радиус основания которого равен $R$, а диагональ осевого сечения образует с плоскостью основания угол $\alpha$. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Поскольку призма является правильной четырёхугольной, в её основании лежит квадрат. Так как в призму вписан цилиндр, окружность основания цилиндра вписана в квадрат основания призмы, а высота цилиндра равна высоте $h$ призмы.

Сторона квадрата $a$, в который вписана окружность радиуса $R$, равна диаметру этой окружности.$a = 2R$.

Периметр основания призмы $P_{осн}$ равен сумме длин его сторон:$P_{осн} = 4a = 4 \cdot (2R) = 8R$.

Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник со сторонами, равными диаметру основания цилиндра ($D = 2R$) и его высоте $h$. Диагональ этого сечения образует с плоскостью основания угол $\alpha$. Это означает, что угол между диагональю и стороной сечения, равной диаметру, равен $\alpha$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю осевого сечения, высотой цилиндра $h$ (противолежащий катет) и диаметром основания $2R$ (прилежащий катет). Из определения тангенса угла в прямоугольном треугольнике имеем:$\tan \alpha = \frac{h}{2R}$

Отсюда находим высоту призмы $h$:$h = 2R \tan \alpha$.

Площадь боковой поверхности прямой призмы $S_{бок}$ вычисляется по формуле:$S_{бок} = P_{осн} \cdot h$.

Подставим найденные значения периметра основания и высоты:$S_{бок} = 8R \cdot (2R \tan \alpha) = 16R^2 \tan \alpha$.

Ответ: $16R^2 \tan \alpha$.

129. Высота конуса равна 9 см, а образующая — 11 см. Найдите радиус основания конуса.

129. Высота конуса равна 9 см, а образующая — 11 см.

Найдите радиус основания конуса.

Высота конуса (h), его радиус (r) и образующая (l) связаны соотношением, которое вытекает из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника, где высота и радиус являются катетами, а образующая — гипотенузой.

Формула выглядит следующим образом:

$l^2 = h^2 + r^2$

По условию задачи нам даны:

• высота $h = 9$ см
• образующая $l = 11$ см

Нам необходимо найти радиус основания $r$. Выразим $r^2$ из формулы:

$r^2 = l^2 - h^2$

Подставим известные значения в это уравнение:

$r^2 = 11^2 - 9^2$

Вычислим квадраты чисел:

$r^2 = 121 - 81$

$r^2 = 40$

Чтобы найти радиус $r$, извлечем квадратный корень из полученного значения:

$r = \sqrt{40}$

Упростим выражение, разложив подкоренное число на множители:

$r = \sqrt{4 \cdot 10} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{10} = 2\sqrt{10}$ см.

Ответ: $2\sqrt{10}$ см.

130. Высота конуса равна 12 см, а разность образующей и радиуса основания равна 8 см. Найдите площадь осевого сечения конуса.

130. Высота конуса равна 12 см, а разность образующей и радиуса основания равна 8 см. Найдите площадь осевого сечения конуса.

Обозначим высоту конуса как $h$, радиус его основания как $r$, а образующую как $l$.

Согласно условию задачи, высота конуса $h = 12$ см. Разность между образующей и радиусом составляет 8 см, что можно записать в виде уравнения: $l - r = 8$.

Высота, радиус и образующая конуса образуют прямоугольный треугольник, в котором образующая $l$ является гипотенузой, а высота $h$ и радиус $r$ — катетами. По теореме Пифагора их связывает соотношение:

$l^2 = h^2 + r^2$

Для нахождения радиуса $r$ необходимо решить систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

$ \begin{cases} l - r = 8 \\ l^2 = 12^2 + r^2 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $l$ через $r$:

$l = r + 8$

Теперь подставим это выражение во второе уравнение системы:

$(r + 8)^2 = 144 + r^2$

Раскроем скобки в левой части уравнения, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$r^2 + 2 \cdot r \cdot 8 + 8^2 = 144 + r^2$

$r^2 + 16r + 64 = 144 + r^2$

Сократим $r^2$ в обеих частях уравнения и решим полученное линейное уравнение:

$16r + 64 = 144$

$16r = 144 - 64$

$16r = 80$

$r = \frac{80}{16} = 5$ см.

Таким образом, радиус основания конуса равен 5 см.

Осевое сечение конуса — это равнобедренный треугольник, основание которого равно диаметру основания конуса ($d = 2r$), а высота — высоте конуса ($h$).

Площадь осевого сечения ($S_{сеч}$) находится по формуле площади треугольника:

$S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot d \cdot h = \frac{1}{2} \cdot (2r) \cdot h = r \cdot h$

Подставим найденное значение радиуса $r=5$ см и заданное значение высоты $h=12$ см:

$S_{сеч} = 5 \text{ см} \cdot 12 \text{ см} = 60 \text{ см}^2$

Ответ: 60 см².

131. Высота конуса равна 15 см, а образующая — 17 см. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

131. Высота конуса равна 15 см, а образующая — 17 см. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле:

$S_{бок} = \pi \cdot r \cdot l$

где $r$ – это радиус основания конуса, а $l$ – его образующая.

В условии задачи даны высота конуса $h = 15$ см и его образующая $l = 17$ см. Для вычисления площади боковой поверхности нам необходимо найти радиус основания $r$.

Высота конуса $h$, радиус его основания $r$ и образующая $l$ образуют прямоугольный треугольник, в котором образующая является гипотенузой, а высота и радиус – катетами. Согласно теореме Пифагора:

$l^2 = h^2 + r^2$

Выразим из этого уравнения радиус $r$:

$r^2 = l^2 - h^2$

$r = \sqrt{l^2 - h^2}$

Подставим известные значения $l$ и $h$ в формулу:

$r = \sqrt{17^2 - 15^2} = \sqrt{289 - 225} = \sqrt{64} = 8$ см.

Теперь мы можем рассчитать площадь боковой поверхности конуса, подставив значения $r$ и $l$ в исходную формулу:

$S_{бок} = \pi \cdot 8 \cdot 17 = 136\pi$ см².

Ответ: $136\pi$ см².

132. Осевое сечение конуса — прямоугольный треугольник. Высота конуса равна 10 см. Найдите площадь полной поверхности конуса.

132. Осевое сечение конуса — прямоугольный треугольник. Высота конуса равна 10 см. Найдите площадь полной поверхности конуса.

Осевое сечение конуса – это равнобедренный треугольник, боковыми сторонами которого являются образующие конуса ($L$), а основанием – диаметр его основания ($D=2R$). Высота этого треугольника является высотой конуса ($H$).

По условию задачи, осевое сечение является прямоугольным треугольником. Поскольку боковые стороны (образующие $L$) равны, прямой угол может быть только при вершине конуса. Следовательно, осевое сечение – это равнобедренный прямоугольный треугольник.

Рассмотрим один из двух прямоугольных треугольников, на которые высота $H$ делит осевое сечение. Катетами этого треугольника являются высота конуса $H$ и радиус основания $R$, а гипотенузой – образующая $L$.

В равнобедренном прямоугольном треугольнике (осевом сечении) углы при основании равны $(180^\circ - 90^\circ) / 2 = 45^\circ$. Это означает, что угол между образующей и плоскостью основания конуса составляет $45^\circ$.

Таким образом, треугольник, образованный высотой $H$, радиусом $R$ и образующей $L$, является прямоугольным с одним из острых углов в $45^\circ$. Следовательно, этот треугольник также является равнобедренным, и его катеты равны: $H = R$.

По условию, высота конуса $H = 10$ см. Значит, радиус основания конуса $R$ также равен 10 см:

$R = 10$ см.

Теперь найдем длину образующей $L$ по теореме Пифагора:

$L^2 = H^2 + R^2$

$L^2 = 10^2 + 10^2 = 100 + 100 = 200$

$L = \sqrt{200} = \sqrt{100 \cdot 2} = 10\sqrt{2}$ см.

Площадь полной поверхности конуса вычисляется по формуле, которая включает в себя площадь основания ($S_{осн} = \pi R^2$) и площадь боковой поверхности ($S_{бок} = \pi R L$):

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = \pi R^2 + \pi R L = \pi R(R + L)$

Подставим найденные значения $R = 10$ см и $L = 10\sqrt{2}$ см в формулу:

$S_{полн} = \pi \cdot 10 \cdot (10 + 10\sqrt{2})$

Вынесем общий множитель 10 из скобок:

$S_{полн} = 10\pi \cdot 10(1 + \sqrt{2}) = 100\pi(1 + \sqrt{2})$ см$^2$.

Ответ: $100\pi(1 + \sqrt{2})$ см$^2$.

133. Высота конуса равна $H$, а угол при вершине осевого сечения равен $2\alpha$. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

133. Высота конуса равна $H$, а угол при вершине осевого сечения равен $2\alpha$. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле: $S_{бок} = \pi R L$, где $R$ — радиус основания конуса, а $L$ — его образующая.
Рассмотрим осевое сечение конуса. Это равнобедренный треугольник, высота которого равна высоте конуса $H$, а угол при вершине равен $2\alpha$. Высота $H$ делит этот треугольник на два равных прямоугольных треугольника.
В каждом из этих прямоугольных треугольников:
- один катет — это высота конуса $H$;
- второй катет — это радиус основания конуса $R$;
- гипотенуза — это образующая конуса $L$.
Угол при вершине в этом прямоугольном треугольнике (между высотой $H$ и образующей $L$) равен половине угла осевого сечения, то есть $\alpha$.
Из соотношений в прямоугольном треугольнике выразим $R$ и $L$ через $H$ и $\alpha$:
Радиус $R$ является катетом, противолежащим углу $\alpha$. Таким образом, $\tan(\alpha) = \frac{R}{H}$, откуда $R = H \cdot \tan(\alpha)$.
Образующая $L$ является гипотенузой. Таким образом, $\cos(\alpha) = \frac{H}{L}$, откуда $L = \frac{H}{\cos(\alpha)}$.
Теперь подставим найденные выражения для $R$ и $L$ в формулу площади боковой поверхности:
$S_{бок} = \pi \cdot R \cdot L = \pi \cdot (H \cdot \tan(\alpha)) \cdot \left(\frac{H}{\cos(\alpha)}\right) = \frac{\pi H^2 \tan(\alpha)}{\cos(\alpha)}$.
Так как $\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$, можно упростить выражение:
$S_{бок} = \frac{\pi H^2}{\cos(\alpha)} \cdot \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \frac{\pi H^2 \sin(\alpha)}{\cos^2(\alpha)}$.
Ответ: $S_{бок} = \frac{\pi H^2 \sin(\alpha)}{\cos^2(\alpha)}$.

134. Через вершину конуса проведено сечение, пересекающее его основание по хорде, стягивающей дугу, градусная мера которой равна 60°. Радиус основания конуса равен 16 см, а высота — 24 см. Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью основания конуса.

134. Через вершину конуса проведено сечение, пересекающее его основание по хорде, стягивающей дугу, градусная мера которой равна $60^\circ$. Радиус основания конуса равен 16 см, а высота — 24 см. Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью основания конуса.

Пусть $S$ — вершина конуса, $O$ — центр его основания, $H=SO$ — высота конуса, а $R$ — радиус основания. По условию, $R = 16$ см и $H = 24$ см.

Сечение, проходящее через вершину $S$, пересекает основание по хорде, которую обозначим $AB$. Эта хорда стягивает дугу в $60°$. Это означает, что центральный угол $\angle AOB = 60°$.

Рассмотрим треугольник $\triangle AOB$ в основании конуса. Так как $OA$ и $OB$ являются радиусами, то $OA = OB = R = 16$ см. Треугольник $\triangle AOB$ — равнобедренный с углом при вершине $60°$, следовательно, он является равносторонним. Таким образом, длина хорды $AB$ также равна радиусу: $AB = 16$ см.

Угол между плоскостью сечения $(SAB)$ и плоскостью основания конуса — это двугранный угол, образованный этими плоскостями. Его величина измеряется линейным углом, который мы построим. Для этого проведем высоту $OM$ в равностороннем треугольнике $\triangle AOB$ из вершины $O$ к стороне $AB$. Так как $\triangle AOB$ равносторонний, $OM$ является также и медианой, и биссектрисой. Значит, $OM \perp AB$.

Треугольник сечения $\triangle SAB$ является равнобедренным, так как его стороны $SA$ и $SB$ — образующие конуса. Проведем в нем медиану $SM$ к основанию $AB$. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является и высотой. Следовательно, $SM \perp AB$.

Поскольку $OM \perp AB$ и $SM \perp AB$, угол $\angle SMO$ является линейным углом двугранного угла между плоскостью сечения и плоскостью основания. Нам нужно найти величину этого угла.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SOM$ (он прямоугольный, так как высота конуса $SO$ перпендикулярна любой прямой в плоскости основания, в том числе и $OM$).

Катет $SO$ — это высота конуса, $SO = H = 24$ см.

Катет $OM$ — это высота в равностороннем треугольнике $\triangle AOB$ со стороной $R = 16$ см. Найдем её длину по формуле высоты равностороннего треугольника $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$, где $a$ — сторона треугольника:

$OM = \frac{16\sqrt{3}}{2} = 8\sqrt{3}$ см.

Теперь, зная два катета в прямоугольном треугольнике $\triangle SOM$, мы можем найти тангенс искомого угла $\angle SMO$:

$\tan(\angle SMO) = \frac{SO}{OM} = \frac{24}{8\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}}$

Упростим выражение, избавившись от иррациональности в знаменателе:

$\frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$

Таким образом, $\tan(\angle SMO) = \sqrt{3}$. Угол, тангенс которого равен $\sqrt{3}$, составляет $60°$.

$\angle SMO = \arctan(\sqrt{3}) = 60°$.

Ответ: $60°$.

135. В основании конуса проведена хорда длиной $m$, которая видна из центра основания под углом $\alpha$. Найдите высоту конуса, если угол между его образующей и плоскостью основания равен $\beta$.

135. В основании конуса проведена хорда длиной $m$, которая видна из центра основания под углом $\alpha$. Найдите высоту конуса, если угол между его образующей и плоскостью основания равен $\beta$.

Пусть $R$ — радиус основания конуса, а $H$ — его высота. В основании конуса лежит круг с центром $O$. Проведена хорда $AB$ длиной $m$.

Рассмотрим треугольник $AOB$ в основании конуса. Он является равнобедренным, так как $OA = OB = R$. По условию, хорда $AB$ видна из центра основания под углом $\alpha$, то есть $\angle AOB = \alpha$.

Для нахождения радиуса $R$ проведем высоту $OK$ из точки $O$ на хорду $AB$. В равнобедренном треугольнике $AOB$ высота $OK$ также является медианой и биссектрисой. Следовательно, треугольник $AOK$ — прямоугольный, и в нем:

• $AK = \frac{AB}{2} = \frac{m}{2}$
• $\angle AOK = \frac{\angle AOB}{2} = \frac{\alpha}{2}$

Из прямоугольного треугольника $AOK$ по определению синуса имеем:
$\sin(\angle AOK) = \frac{AK}{OA} \implies \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{m/2}{R}$
Отсюда выражаем радиус основания $R$:
$R = \frac{m}{2 \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)}$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса $H$, его образующей и радиусом основания $R$. Угол между образующей и плоскостью основания по условию равен $\beta$. В этом треугольнике данный угол $\beta$ является углом между образующей (гипотенузой) и радиусом (катетом).

Из соотношений в этом прямоугольном треугольнике следует:
$\tan(\beta) = \frac{H}{R}$
Отсюда находим высоту $H$:
$H = R \cdot \tan(\beta)$

Подставим в полученное выражение для высоты найденное ранее значение радиуса $R$:
$H = \left( \frac{m}{2 \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)} \right) \cdot \tan(\beta) = \frac{m \tan(\beta)}{2 \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)}$

Ответ: $\frac{m \tan(\beta)}{2 \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)}$

136. Через две образующие конуса, угол между которыми равен $ \varphi $, проведено сечение. Найдите площадь этого сечения, если высота конуса равна $ h $, а угол между высотой конуса и его образующей равен $ \alpha $.

136. Через две образующие конуса, угол между которыми равен $ \varphi $, проведено сечение. Найдите площадь этого сечения, если высота конуса равна $ h $, а угол между высотой конуса и его образующей равен $ \alpha $.

Сечение конуса, проходящее через две его образующие, представляет собой равнобедренный треугольник. Боковыми сторонами этого треугольника являются образующие конуса, а основанием — хорда в основании конуса.

Пусть длина образующей конуса равна $L$. По условию, угол между двумя образующими, образующими сечение, равен $\phi$. Площадь этого треугольника (сечения) можно найти по формуле площади треугольника через две стороны и угол между ними: $S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot L \cdot L \cdot \sin\phi = \frac{1}{2} L^2 \sin\phi$.

Теперь нам нужно найти длину образующей $L$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса $h$, его образующей $L$ и радиусом основания $r$. В этом треугольнике $h$ и $r$ являются катетами, а $L$ — гипотенузой. Угол между высотой $h$ (прилежащий катет) и образующей $L$ (гипотенуза) по условию равен $\alpha$.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике мы знаем, что косинус угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе: $\cos\alpha = \frac{h}{L}$.

Выразим из этой формулы длину образующей $L$: $L = \frac{h}{\cos\alpha}$.

Подставим найденное выражение для $L$ в формулу для площади сечения: $S_{сеч} = \frac{1}{2} \left(\frac{h}{\cos\alpha}\right)^2 \sin\phi = \frac{1}{2} \frac{h^2}{\cos^2\alpha} \sin\phi$.

Таким образом, искомая площадь сечения равна $\frac{h^2 \sin\phi}{2\cos^2\alpha}$.

Ответ: $\frac{h^2 \sin\phi}{2\cos^2\alpha}$.