Страница 10 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

63. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Точка $M$ — середина ребра $B_1C_1$, точка $K$ — середина ребра $CD$. Выразите вектор $\vec{MK}$ через векторы $\vec{AB}$, $\vec{AD}$ и $\vec{AA_1}$.

63. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Точка $M$ — середина ребра $B_1C_1$, точка $K$ — середина ребра $CD$. Выразите вектор $\vec{MK}$ через векторы $\vec{AB}$, $\vec{AD}$ и $\vec{AA_1}$.

Для того чтобы выразить вектор $\vec{MK}$ через векторы $\vec{AB}$, $\vec{AD}$ и $\vec{AA_1}$, воспользуемся правилом сложения векторов. Представим вектор $\vec{MK}$ в виде суммы векторов, идущих по ломаной линии, соединяющей точки $M$ и $K$. Удобно выбрать путь через вершины куба, например, $M \to C_1 \to C \to K$:

$\vec{MK} = \vec{MC_1} + \vec{C_1C} + \vec{CK}$

Теперь последовательно выразим каждый из векторов в этой сумме через заданные базисные векторы $\vec{AB}$, $\vec{AD}$ и $\vec{AA_1}$.

1. Точка $M$ — середина ребра $B_1C_1$. Это означает, что вектор $\vec{MC_1}$ равен половине вектора $\vec{B_1C_1}$.

$\vec{MC_1} = \frac{1}{2}\vec{B_1C_1}$

Поскольку $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — куб, его противоположные ребра параллельны и равны. Следовательно, $\vec{B_1C_1} = \vec{AD}$.

Таким образом, получаем: $\vec{MC_1} = \frac{1}{2}\vec{AD}$.

2. Вектор $\vec{C_1C}$ направлен от вершины $C_1$ к вершине $C$, то есть он противоположен вектору $\vec{CC_1}$.

$\vec{C_1C} = -\vec{CC_1}$

В кубе боковые ребра параллельны и равны, поэтому $\vec{CC_1} = \vec{AA_1}$.

Следовательно: $\vec{C_1C} = -\vec{AA_1}$.

3. Точка $K$ — середина ребра $CD$. Это означает, что вектор $\vec{CK}$ равен половине вектора $\vec{CD}$.

$\vec{CK} = \frac{1}{2}\vec{CD}$

В кубе $\vec{CD} = \vec{BA}$. Вектор $\vec{BA}$ противоположен вектору $\vec{AB}$, то есть $\vec{BA} = -\vec{AB}$.

Следовательно, $\vec{CD} = -\vec{AB}$, и тогда: $\vec{CK} = \frac{1}{2}(-\vec{AB}) = -\frac{1}{2}\vec{AB}$.

Теперь, когда все компоненты разложены по базисным векторам, подставим их в исходное равенство:

$\vec{MK} = \vec{MC_1} + \vec{C_1C} + \vec{CK} = \frac{1}{2}\vec{AD} + (-\vec{AA_1}) + (-\frac{1}{2}\vec{AB})$

Запишем слагаемые в порядке, указанном в условии задачи:

$\vec{MK} = -\frac{1}{2}\vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{AD} - \vec{AA_1}$

Ответ: $\vec{MK} = -\frac{1}{2}\vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{AD} - \vec{AA_1}$

64. На ребре $BC$ тетраэдра $DABC$ отметили точку $F$ так, что $BF : FC = 1 : 5$. Выразите вектор $\vec{AF}$ через векторы $\vec{DA}$, $\vec{DB}$ и $\vec{DC}$.

64. На ребре $BC$ тетраэдра $DABC$ отметили точку $F$ так, что $BF : FC = 1 : 5$. Выразите вектор $\vec{AF}$ через векторы $\vec{DA}$, $\vec{DB}$ и $\vec{DC}$.

Для того чтобы выразить вектор $\vec{AF}$ через векторы $\vec{DA}$, $\vec{DB}$ и $\vec{DC}$, представим вектор $\vec{AF}$ как разность векторов, выходящих из одной точки. В качестве такой точки удобно выбрать вершину D, так как все заданные векторы исходят из нее.

По правилу вычитания векторов:

$\vec{AF} = \vec{DF} - \vec{DA}$

Теперь найдем выражение для вектора $\vec{DF}$. Точка F принадлежит ребру BC и, согласно условию, делит его в отношении $BF : FC = 1 : 5$. Это означает, что вектор $\vec{DF}$ можно выразить через векторы $\vec{DB}$ и $\vec{DC}$ с помощью формулы деления отрезка в данном отношении:

$\vec{DF} = \frac{5 \cdot \vec{DB} + 1 \cdot \vec{DC}}{1+5}$

Выполним вычисления:

$\vec{DF} = \frac{5\vec{DB} + \vec{DC}}{6} = \frac{5}{6}\vec{DB} + \frac{1}{6}\vec{DC}$

Подставим полученное выражение для вектора $\vec{DF}$ в исходное равенство для $\vec{AF}$:

$\vec{AF} = \left( \frac{5}{6}\vec{DB} + \frac{1}{6}\vec{DC} \right) - \vec{DA}$

Переставив слагаемые, получим окончательное выражение:

$\vec{AF} = -\vec{DA} + \frac{5}{6}\vec{DB} + \frac{1}{6}\vec{DC}$

Ответ: $\vec{AF} = -\vec{DA} + \frac{5}{6}\vec{DB} + \frac{1}{6}\vec{DC}$

65. Дан параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. На ребре $A_1B_1$ отметили точку $E$ так, что $A_1E : EB_1 = 2 : 1$, а на отрезке $A_1D$ — точку $F$ так, что $A_1F : FD = 3 : 2$. Выразите вектор $\vec{EF}$ через векторы $\vec{C_1B_1}$, $\vec{C_1C}$ и $\vec{C_1D_1}$.

65. Дан параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. На ребре $A_1B_1$ отметили точку $E$ так, что $A_1E : EB_1 = 2 : 1$, а на отрезке $A_1D$ — точку $F$ так, что $A_1F : FD = 3 : 2$. Выразите вектор $\vec{EF}$ через векторы $\vec{C_1B_1}$, $\vec{C_1C}$ и $\vec{C_1D_1}$.

Для решения задачи выразим вектор $\vec{EF}$ через заданные векторы $\vec{C_1B_1}$, $\vec{C_1C}$ и $\vec{C_1D_1}$. Удобно представить искомый вектор как разность векторов, выходящих из одной точки. Выберем в качестве такой точки вершину $C_1$.
$\vec{EF} = \vec{C_1F} - \vec{C_1E}$
Теперь найдем выражения для векторов $\vec{C_1E}$ и $\vec{C_1F}$ через базисные векторы.

1. Нахождение вектора $\vec{C_1E}$
Точка $E$ лежит на ребре $A_1B_1$, причем $A_1E : EB_1 = 2 : 1$.Вектор $\vec{C_1E}$ можно представить в виде суммы: $\vec{C_1E} = \vec{C_1B_1} + \vec{B_1E}$.
Из соотношения $A_1E : EB_1 = 2 : 1$ следует, что длина отрезка $EB_1$ составляет $\frac{1}{3}$ длины ребра $A_1B_1$. Значит, $\vec{EB_1} = \frac{1}{3} \vec{A_1B_1}$.Тогда $\vec{B_1E} = -\vec{EB_1} = -\frac{1}{3}\vec{A_1B_1}$.
В параллелепипеде векторы, соответствующие параллельным и равным ребрам, равны. Поэтому $\vec{A_1B_1} = \vec{D_1C_1}$.Вектор $\vec{D_1C_1}$ противоположен вектору $\vec{C_1D_1}$, то есть $\vec{D_1C_1} = -\vec{C_1D_1}$.Следовательно, $\vec{A_1B_1} = -\vec{C_1D_1}$.
Подставим это в выражение для $\vec{B_1E}$:$\vec{B_1E} = -\frac{1}{3}(-\vec{C_1D_1}) = \frac{1}{3}\vec{C_1D_1}$.
Таким образом, вектор $\vec{C_1E}$ равен:$\vec{C_1E} = \vec{C_1B_1} + \frac{1}{3}\vec{C_1D_1}$.

2. Нахождение вектора $\vec{C_1F}$
Точка $F$ делит отрезок $A_1D$ в отношении $A_1F : FD = 3 : 2$.Для нахождения вектора $\vec{C_1F}$ воспользуемся формулой деления отрезка в заданном отношении:$\vec{C_1F} = \frac{2\cdot\vec{C_1A_1} + 3\cdot\vec{C_1D}}{3+2} = \frac{2}{5}\vec{C_1A_1} + \frac{3}{5}\vec{C_1D}$.
Теперь выразим векторы $\vec{C_1A_1}$ и $\vec{C_1D}$ через базис:
$\vec{C_1A_1} = \vec{C_1B_1} + \vec{B_1A_1}$. Так как $\vec{B_1A_1} = \vec{C_1D_1}$, то $\vec{C_1A_1} = \vec{C_1B_1} + \vec{C_1D_1}$.
$\vec{C_1D} = \vec{C_1C} + \vec{CD}$. Так как $\vec{CD} = \vec{C_1D_1}$, то $\vec{C_1D} = \vec{C_1C} + \vec{C_1D_1}$.
Подставим полученные выражения для $\vec{C_1A_1}$ и $\vec{C_1D}$ в формулу для $\vec{C_1F}$:$\vec{C_1F} = \frac{2}{5}(\vec{C_1B_1} + \vec{C_1D_1}) + \frac{3}{5}(\vec{C_1C} + \vec{C_1D_1})$
$\vec{C_1F} = \frac{2}{5}\vec{C_1B_1} + \frac{2}{5}\vec{C_1D_1} + \frac{3}{5}\vec{C_1C} + \frac{3}{5}\vec{C_1D_1}$
Сгруппируем подобные члены:$\vec{C_1F} = \frac{2}{5}\vec{C_1B_1} + \frac{3}{5}\vec{C_1C} + (\frac{2}{5}+\frac{3}{5})\vec{C_1D_1} = \frac{2}{5}\vec{C_1B_1} + \frac{3}{5}\vec{C_1C} + \vec{C_1D_1}$.

3. Вычисление вектора $\vec{EF}$
Теперь вычтем из $\vec{C_1F}$ вектор $\vec{C_1E}$:$\vec{EF} = \vec{C_1F} - \vec{C_1E} = (\frac{2}{5}\vec{C_1B_1} + \frac{3}{5}\vec{C_1C} + \vec{C_1D_1}) - (\vec{C_1B_1} + \frac{1}{3}\vec{C_1D_1})$
Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые при одинаковых векторах:$\vec{EF} = \frac{2}{5}\vec{C_1B_1} - \vec{C_1B_1} + \frac{3}{5}\vec{C_1C} + \vec{C_1D_1} - \frac{1}{3}\vec{C_1D_1}$
$\vec{EF} = (\frac{2}{5} - 1)\vec{C_1B_1} + \frac{3}{5}\vec{C_1C} + (1 - \frac{1}{3})\vec{C_1D_1}$
$\vec{EF} = -\frac{3}{5}\vec{C_1B_1} + \frac{3}{5}\vec{C_1C} + \frac{2}{3}\vec{C_1D_1}$

Ответ: $\vec{EF} = -\frac{3}{5}\vec{C_1B_1} + \frac{3}{5}\vec{C_1C} + \frac{2}{3}\vec{C_1D_1}$.

66. Найдите координаты образа точки B (2; -15; 8) при гомотетии с центром в точке A (-1; 3; 5) и коэффициентом гомотетии $k = \frac{2}{3}$.

66. Найдите координаты образа точки B (2; −15; 8) при гомотетии с центром в точке A (−1; 3; 5) и коэффициентом гомотетии $k = \frac{2}{3}$.

Пусть точка $B'(x'; y'; z')$ является образом точки $B(2; -15; 8)$ при гомотетии с центром в точке $A(-1; 3; 5)$ и коэффициентом $k = \frac{2}{3}$.

Координаты образа точки при гомотетии вычисляются по следующим формулам:
$x' = x_A + k \cdot (x_B - x_A)$
$y' = y_A + k \cdot (y_B - y_A)$
$z' = z_A + k \cdot (z_B - z_A)$
где $(x_A; y_A; z_A)$ — координаты центра гомотетии, а $(x_B; y_B; z_B)$ — координаты исходной точки.

Подставим известные значения в формулы для нахождения каждой координаты точки $B'$:

$x' = -1 + \frac{2}{3} \cdot (2 - (-1)) = -1 + \frac{2}{3} \cdot (2 + 1) = -1 + \frac{2}{3} \cdot 3 = -1 + 2 = 1$

$y' = 3 + \frac{2}{3} \cdot (-15 - 3) = 3 + \frac{2}{3} \cdot (-18) = 3 - 12 = -9$

$z' = 5 + \frac{2}{3} \cdot (8 - 5) = 5 + \frac{2}{3} \cdot 3 = 5 + 2 = 7$

Таким образом, координаты образа точки $B$ есть точка $B'(1; -9; 7)$.

Ответ: $(1; -9; 7)$.

67. Образом точки $P(6; -3; 4)$ при гомотетии с центром $A(-2; 1; 0)$ является точка $P_1(38; -19; 20)$. Найдите прообраз $C$ точки $C_1(13; -4; -5)$ при этой гомотетии.

67. Образом точки $P (6; -3; 4)$ при гомотетии с центром $A (-2; 1; 0)$ является точка $P_1 (38; -19; 20)$. Найдите прообраз $C$ точки $C_1 (13; -4; -5)$ при этой гомотетии.

Для решения задачи необходимо выполнить два шага: сначала найти коэффициент гомотетии $k$, а затем, используя его, найти прообраз точки $C$.

1. Нахождение коэффициента гомотетии

По определению гомотетии с центром в точке $A$ и коэффициентом $k$, образ $P_1$ точки $P$ связан с ней векторным равенством: $\vec{AP_1} = k \cdot \vec{AP}$.

В условии даны координаты точек: центр гомотетии $A(-2; 1; 0)$, точка $P(6; -3; 4)$ и ее образ $P_1(38; -19; 20)$.

Найдем координаты векторов $\vec{AP}$ и $\vec{AP_1}$:

$\vec{AP} = (6 - (-2); -3 - 1; 4 - 0) = (8; -4; 4)$.

$\vec{AP_1} = (38 - (-2); -19 - 1; 20 - 0) = (40; -20; 20)$.

Подставим координаты векторов в формулу гомотетии: $(40; -20; 20) = k \cdot (8; -4; 4)$.

Это векторное уравнение равносильно системе уравнений для соответствующих координат:

$40 = k \cdot 8$

$-20 = k \cdot (-4)$

$20 = k \cdot 4$

Из любого из этих уравнений находим, что коэффициент гомотетии $k = 5$.

2. Нахождение прообраза C точки C₁

Теперь найдем прообраз $C$ с неизвестными координатами $(x; y; z)$ для точки $C_1(13; -4; -5)$. Используется та же гомотетия с центром $A(-2; 1; 0)$ и коэффициентом $k=5$.

Для точек $C$ и $C_1$ выполняется аналогичное соотношение: $\vec{AC_1} = k \cdot \vec{AC}$.

Найдем координаты векторов $\vec{AC_1}$ и $\vec{AC}$:

$\vec{AC_1} = (13 - (-2); -4 - 1; -5 - 0) = (15; -5; -5)$.

$\vec{AC} = (x - (-2); y - 1; z - 0) = (x+2; y-1; z)$.

Подставим найденные векторы и значение $k=5$ в формулу:

$(15; -5; -5) = 5 \cdot (x+2; y-1; z)$.

Запишем и решим систему уравнений для координат:

Для координаты x: $15 = 5(x+2) \implies 3 = x+2 \implies x = 1$.

Для координаты y: $-5 = 5(y-1) \implies -1 = y-1 \implies y = 0$.

Для координаты z: $-5 = 5z \implies z = -1$.

Таким образом, координаты прообраза $C$ равны $(1; 0; -1)$.

Ответ: $C(1; 0; -1)$.

68. Через точку $M$, принадлежащую высоте пирамиды, проведена плоскость, параллельная плоскости основания. Найдите площадь меньшего основания образовавшейся при этом усечённой пирамиды, если площадь основания данной пирамиды равна $243 \text{ см}^2$, а точка $M$ делит её высоту в отношении $4:5$, считая от вершины пирамиды.

68. Через точку $M$, принадлежащую высоте пирамиды, проведена плоскость, параллельная плоскости основания. Найдите площадь меньшего основания образовавшейся при этом усечённой пирамиды, если площадь основания данной пирамиды равна 243 см$^2$, а точка $M$ делит её высоту в отношении $4:5$, считая от вершины пирамиды.

Решение

Плоскость, проведенная параллельно основанию пирамиды, отсекает от нее меньшую пирамиду, подобную исходной. Обозначим площадь основания исходной пирамиды как $S_1$, а площадь сечения (меньшего основания усеченной пирамиды) как $S_2$. Высоту исходной пирамиды обозначим как $H$, а высоту отсеченной (меньшей) пирамиды как $h$.

Согласно свойству подобных тел, отношение площадей их оснований равно квадрату отношения их соответственных линейных размеров, в данном случае — высот:

$\frac{S_2}{S_1} = (\frac{h}{H})^2$

По условию задачи, точка $M$ делит высоту исходной пирамиды $H$ в отношении $4:5$, считая от вершины. Это означает, что высота отсеченной пирамиды $h$ составляет 4 части, а оставшаяся часть высоты (высота самой усеченной пирамиды) составляет 5 частей. Таким образом, вся высота $H$ состоит из $4 + 5 = 9$ частей.

Найдем отношение высоты малой пирамиды $h$ к высоте всей пирамиды $H$:

$\frac{h}{H} = \frac{4}{4+5} = \frac{4}{9}$

Теперь мы можем найти площадь меньшего основания $S_2$, зная площадь большего основания $S_1 = 243$ см²:

$S_2 = S_1 \cdot (\frac{h}{H})^2 = 243 \cdot (\frac{4}{9})^2 = 243 \cdot \frac{16}{81}$

Выполним вычисления:

$S_2 = \frac{243}{81} \cdot 16 = 3 \cdot 16 = 48$ см²

Ответ: 48 см²

69. Найдите скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, если:

1) $|\vec{a}|=3$, $|\vec{b}|=8$, $\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 30^{\circ}$;

2) $|\vec{a}|=2\sqrt{2}$, $|\vec{b}|=5$, $\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 135^{\circ}$;

3) $|\vec{a}|=12$, $|\vec{b}|=9$, $\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 90^{\circ}$.

69. Найдите скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, если:

1) $|\vec{a}|=3, |\vec{b}|=8, \angle(\vec{a},\vec{b})=30^{\circ};$

2) $|\vec{a}|=2\sqrt{2}, |\vec{b}|=5, \angle(\vec{a},\vec{b})=135^{\circ};$

3) $|\vec{a}|=12, |\vec{b}|=9, \angle(\vec{a},\vec{b})=90^{\circ}.$

Скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ находится по формуле $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\angle(\vec{a}, \vec{b}))$, где $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ — длины (модули) векторов, а $\angle(\vec{a}, \vec{b})$ — угол между ними.

1)

Дано: $|\vec{a}| = 3$, $|\vec{b}| = 8$, $\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 30^\circ$.

Подставим данные значения в формулу:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot 8 \cdot \cos(30^\circ)$

Поскольку $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, то:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 24 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{3}$

Ответ: $12\sqrt{3}$

2)

Дано: $|\vec{a}| = 2\sqrt{2}$, $|\vec{b}| = 5$, $\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 135^\circ$.

Подставим данные значения в формулу:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2\sqrt{2} \cdot 5 \cdot \cos(135^\circ)$

Поскольку $\cos(135^\circ) = -\cos(45^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, то:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 10\sqrt{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -10 \cdot \frac{2}{2} = -10$

Ответ: -10

3)

Дано: $|\vec{a}| = 12$, $|\vec{b}| = 9$, $\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 90^\circ$.

Подставим данные значения в формулу:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 12 \cdot 9 \cdot \cos(90^\circ)$

Поскольку $\cos(90^\circ) = 0$, то:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 108 \cdot 0 = 0$

Ответ: 0

70. Угол между векторами $a$ и $b$ равен $120^{\circ}$, $|\vec{a}|=5$, $|\vec{b}|=6$. Найдите скалярное произведение $(2\vec{a}+3\vec{b})\cdot \vec{a}$.

70. Угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равен $120^\circ$, $|\vec{a}|=5$, $|\vec{b}|=6$. Найдите скалярное произведение $(2\vec{a}+3\vec{b})\cdot\vec{a}$.

Для вычисления скалярного произведения $(2\vec{a} + 3\vec{b}) \cdot \vec{a}$ воспользуемся его свойствами.

Сначала раскроем скобки, применяя дистрибутивный закон:

$(2\vec{a} + 3\vec{b}) \cdot \vec{a} = 2(\vec{a} \cdot \vec{a}) + 3(\vec{b} \cdot \vec{a})$

Далее вычислим каждое скалярное произведение отдельно.

Скалярное произведение вектора на самого себя (скалярный квадрат) равно квадрату его длины (модуля):

$\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2 = 5^2 = 25$

Скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ определяется по формуле:

$\vec{b} \cdot \vec{a} = \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha)$, где $\alpha$ — угол между векторами.

Подставляем данные из условия: $|\vec{a}| = 5$, $|\vec{b}| = 6$, $\alpha = 120^\circ$.

Значение косинуса $120^\circ$ равно $-\frac{1}{2}$ или $-0.5$.

$\vec{b} \cdot \vec{a} = 5 \cdot 6 \cdot \cos(120^\circ) = 30 \cdot (-0.5) = -15$

Теперь подставим найденные значения в исходное выражение:

$2(\vec{a} \cdot \vec{a}) + 3(\vec{b} \cdot \vec{a}) = 2 \cdot 25 + 3 \cdot (-15) = 50 - 45 = 5$

Ответ: 5

71. Угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равен 30°, $|\vec{a}| = |\vec{b}| = 1$.Найдите скалярное произведение $(\vec{a} - 2\vec{b})(2\vec{a} + \vec{b})$.

71. Угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равен $30^\circ$, $|\vec{a}|=|\vec{b}|=1$.
Найдите скалярное произведение $(\vec{a}-2\vec{b})(2\vec{a}+\vec{b})$.

Для нахождения скалярного произведения $(\vec{a} - 2\vec{b})(2\vec{a} + \vec{b})$ воспользуемся свойствами скалярного произведения, в частности, его дистрибутивностью (распределительным законом). Раскроем скобки так же, как при умножении многочленов:

$(\vec{a} - 2\vec{b}) \cdot (2\vec{a} + \vec{b}) = \vec{a} \cdot (2\vec{a}) + \vec{a} \cdot \vec{b} - (2\vec{b}) \cdot (2\vec{a}) - (2\vec{b}) \cdot \vec{b}$

Теперь упростим каждый член выражения:

$\vec{a} \cdot (2\vec{a}) = 2(\vec{a} \cdot \vec{a}) = 2|\vec{a}|^2$

$-(2\vec{b}) \cdot (2\vec{a}) = -4(\vec{b} \cdot \vec{a})$

$-(2\vec{b}) \cdot \vec{b} = -2(\vec{b} \cdot \vec{b}) = -2|\vec{b}|^2$

Учитывая, что скалярное произведение коммутативно $(\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a})$, объединим подобные слагаемые:

$2|\vec{a}|^2 + \vec{a} \cdot \vec{b} - 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) - 2|\vec{b}|^2 = 2|\vec{a}|^2 - 3(\vec{a} \cdot \vec{b}) - 2|\vec{b}|^2$

Далее вычислим скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b}$ по определению: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\alpha)$, где $\alpha$ — угол между векторами.

Из условия задачи нам известно, что $|\vec{a}| = 1$, $|\vec{b}| = 1$ и $\alpha = 30^{\circ}$. Значение косинуса $30^{\circ}$ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 1 \cdot \cos(30^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Теперь подставим все известные значения в полученное выражение:

$2|\vec{a}|^2 - 3(\vec{a} \cdot \vec{b}) - 2|\vec{b}|^2 = 2(1)^2 - 3\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) - 2(1)^2 = 2 \cdot 1 - \frac{3\sqrt{3}}{2} - 2 \cdot 1 = 2 - \frac{3\sqrt{3}}{2} - 2 = -\frac{3\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $-\frac{3\sqrt{3}}{2}$