Страница 9 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

51. Известно, что $|\vec{m}|=7$. Найдите модуль вектора $\vec{n}$, если:

1) $\vec{n} = 8\vec{m}$;

2) $\vec{n} = -0.5\vec{m}$.

51. Известно, что $|\vec{m}|=7$. Найдите модуль вектора $n$, если:

1) $\vec{n}=8\vec{m}$;

2) $\vec{n}=-0,5\vec{m}$.

По условию задачи нам дан модуль вектора $\vec{m}$: $|\vec{m}| = 7$.
Для нахождения модуля вектора $\vec{n}$, который является произведением вектора $\vec{m}$ на некоторое число (скаляр) $k$, мы используем свойство модуля вектора:
$|\ k\vec{a}\ | = |k| \cdot |\vec{a}|$
Это означает, что модуль вектора, умноженного на число, равен произведению модуля этого числа на модуль исходного вектора.

1) $\vec{n} = 8\vec{m}$
Чтобы найти модуль вектора $\vec{n}$, возьмем модуль от обеих частей равенства:
$|\vec{n}| = |8\vec{m}|$
Используя указанное выше свойство, получаем:
$|\vec{n}| = |8| \cdot |\vec{m}|$
Подставляем известные значения $|8| = 8$ и $|\vec{m}| = 7$:
$|\vec{n}| = 8 \cdot 7 = 56$
Ответ: 56.

2) $\vec{n} = -0,5\vec{m}$
Аналогично, находим модуль вектора $\vec{n}$:
$|\vec{n}| = |-0,5\vec{m}|$
Применяем свойство модуля:
$|\vec{n}| = |-0,5| \cdot |\vec{m}|$
Подставляем известные значения $|-0,5| = 0,5$ и $|\vec{m}| = 7$:
$|\vec{n}| = 0,5 \cdot 7 = 3,5$
Ответ: 3,5.

52. Какими векторами, сонаправленными или противоположно направленными, являются векторы $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $, если:

1) $ \vec{b} = \frac{2}{7}\vec{a}; $

2) $ \vec{a} = -6\vec{b}? $

52. Какими векторами, сонаправленными или противоположно направленными, являются векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$, если:

1) $\vec{b} = \frac{2}{7}\vec{a}$;

2) $\vec{a} = -6\vec{b}$?

Два вектора являются коллинеарными, если один из них можно выразить через другой путем умножения на скаляр (число). Пусть это соотношение выглядит как $\vec{b} = k \cdot \vec{a}$.

• Если коэффициент $k > 0$, то векторы сонаправлены (направлены в одну сторону).
• Если коэффициент $k < 0$, то векторы противоположно направлены (направлены в противоположные стороны).

1)

Дано соотношение $\vec{b} = \frac{2}{7}\vec{a}$.

Здесь коэффициент $k = \frac{2}{7}$.

Поскольку $k = \frac{2}{7} > 0$, векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ сонаправлены.

Ответ: сонаправленные.

2)

Дано соотношение $\vec{a} = -6\vec{b}$.

Здесь коэффициент $k = -6$.

Поскольку $k = -6 < 0$, векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ противоположно направлены.

Ответ: противоположно направленные.

53. Дан вектор $ \vec{m} (2; -12; 16) $. Найдите координаты вектора $ \vec{n} $, если:

1) $ \vec{n} = 0,5\vec{m} $;

2) $ \vec{n} = -3\vec{m} $.

53. Дан вектор $\vec{m}$ (2; -12; 16). Найдите координаты вектора $\vec{n}$, если:

1) $\vec{n} = 0,5\vec{m}$;

2) $\vec{n} = -3\vec{m}$.

По условию дан вектор $\vec{m}$ с координатами $(2; -12; 16)$. Чтобы найти координаты вектора $\vec{n}$, который равен произведению вектора $\vec{m}$ на некоторое число (скаляр), необходимо каждую координату вектора $\vec{m}$ умножить на это число.

1) $\vec{n} = 0,5\vec{m}$;
Для нахождения координат вектора $\vec{n}$ умножим каждую координату вектора $\vec{m}(2; -12; 16)$ на скаляр $0,5$:
$x_n = 0,5 \cdot 2 = 1$
$y_n = 0,5 \cdot (-12) = -6$
$z_n = 0,5 \cdot 16 = 8$
Следовательно, координаты вектора $\vec{n}$ равны $(1; -6; 8)$.
Ответ: $\vec{n}(1; -6; 8)$.

2) $\vec{n} = -3\vec{m}$.
Для нахождения координат вектора $\vec{n}$ умножим каждую координату вектора $\vec{m}(2; -12; 16)$ на скаляр $-3$:
$x_n = -3 \cdot 2 = -6$
$y_n = -3 \cdot (-12) = 36$
$z_n = -3 \cdot 16 = -48$
Следовательно, координаты вектора $\vec{n}$ равны $(-6; 36; -48)$.
Ответ: $\vec{n}(-6; 36; -48)$.

54. Даны векторы $\vec{a} (3; -2; 5)$ и $\vec{b} (-5; 8; -1)$. Найдите координаты вектора $\vec{c}$, если:

1) $\vec{c} = 5\vec{a} + 2\vec{b}$;

2) $\vec{c} = 6\vec{a} - 3\vec{b}$.

54. Даны векторы $ \vec{a} (3; -2; 5) $ и $ \vec{b} (-5; 8; -1) $. Найдите координаты вектора $ \vec{c} $, если:

1) $ \vec{c} = 5\vec{a} + 2\vec{b}; $

2) $ \vec{c} = 6\vec{a} - 3\vec{b}. $

Даны векторы $\vec{a}(3; -2; 5)$ и $\vec{b}(-5; 8; -1)$. Для нахождения координат вектора $\vec{c}$ необходимо выполнить соответствующие действия (умножение на скаляр и сложение/вычитание векторов) с их координатами.

1) $\vec{c} = 5\vec{a} + 2\vec{b}$

Чтобы найти координаты вектора $\vec{c}$, нужно сначала умножить координаты вектора $\vec{a}$ на 5 и координаты вектора $\vec{b}$ на 2, а затем сложить полученные векторы.

1. Умножение на скаляр:

$5\vec{a} = (5 \cdot 3; 5 \cdot (-2); 5 \cdot 5) = (15; -10; 25)$

$2\vec{b} = (2 \cdot (-5); 2 \cdot 8; 2 \cdot (-1)) = (-10; 16; -2)$

2. Сложение векторов:

$\vec{c} = 5\vec{a} + 2\vec{b} = (15 + (-10); -10 + 16; 25 + (-2)) = (5; 6; 23)$

Ответ: $\vec{c}(5; 6; 23)$.

2) $\vec{c} = 6\vec{a} - 3\vec{b}$

Аналогично, сначала находим произведения векторов на скаляры, а затем выполняем вычитание.

1. Умножение на скаляр:

$6\vec{a} = (6 \cdot 3; 6 \cdot (-2); 6 \cdot 5) = (18; -12; 30)$

$3\vec{b} = (3 \cdot (-5); 3 \cdot 8; 3 \cdot (-1)) = (-15; 24; -3)$

2. Вычитание векторов:

$\vec{c} = 6\vec{a} - 3\vec{b} = (18 - (-15); -12 - 24; 30 - (-3)) = (18 + 15; -36; 30 + 3) = (33; -36; 33)$

Ответ: $\vec{c}(33; -36; 33)$.

55. Найдите модуль вектора $\vec{p} = 7\vec{a} - 4\vec{b}$, если $\vec{a} (1; -1; 2)$, $\vec{b} (3; -2; -1)$.

55. Найдите модуль вектора $\vec{p} = 7\vec{a} - 4\vec{b}$, если $\vec{a} (1; -1; 2)$, $\vec{b} (3; -2; -1)$.

Для нахождения модуля вектора $\vec{p} = 7\vec{a} - 4\vec{b}$ необходимо последовательно выполнить следующие действия:

1. Найти координаты векторов $7\vec{a}$ и $4\vec{b}$

Умножение вектора на скаляр (число) производится покомпонентно. Даны векторы $\vec{a}(1; -1; 2)$ и $\vec{b}(3; -2; -1)$.

$7\vec{a} = 7 \cdot (1; -1; 2) = (7 \cdot 1; 7 \cdot (-1); 7 \cdot 2) = (7; -7; 14)$.

$4\vec{b} = 4 \cdot (3; -2; -1) = (4 \cdot 3; 4 \cdot (-2); 4 \cdot (-1)) = (12; -8; -4)$.

2. Найти координаты вектора $\vec{p}$

Для нахождения координат вектора $\vec{p}$ нужно из координат вектора $7\vec{a}$ вычесть соответствующие координаты вектора $4\vec{b}$:

$\vec{p} = 7\vec{a} - 4\vec{b} = (7 - 12; -7 - (-8); 14 - (-4))$.

$\vec{p} = (-5; -7 + 8; 14 + 4) = (-5; 1; 18)$.

3. Найти модуль вектора $\vec{p}$

Модуль (или длина) вектора с координатами $(x; y; z)$ вычисляется по формуле $|\vec{p}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.

Подставим координаты вектора $\vec{p}(-5; 1; 18)$ в эту формулу:

$|\vec{p}| = \sqrt{(-5)^2 + 1^2 + 18^2} = \sqrt{25 + 1 + 324} = \sqrt{350}$.

Упростим полученное значение, разложив подкоренное выражение на множители:

$\sqrt{350} = \sqrt{25 \cdot 14} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{14} = 5\sqrt{14}$.

Ответ: $5\sqrt{14}$.

56. Коллинеарны ли векторы $\vec{AB}$ и $\vec{DE}$, если $A (10; -8; 24)$, $B (-2; 8; 4)$, $D (-1; 3; 2)$, $E (2; -1; 7)$?

56. Коллинеарны ли векторы $ \vec{AB} $ и $ \vec{DE} $, если A (10; -8; 24), B (-2; 8; 4), D (-1; 3; 2), E (2; -1; 7)?

Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Алгебраически это означает, что их соответствующие координаты пропорциональны. То есть для векторов $\vec{a} = (x_a; y_a; z_a)$ и $\vec{b} = (x_b; y_b; z_b)$ должно существовать такое число $k$, что $\vec{a} = k \cdot \vec{b}$ или, что то же самое, $\frac{x_a}{x_b} = \frac{y_a}{y_b} = \frac{z_a}{z_b} = k$.

Чтобы проверить коллинеарность векторов $\vec{AB}$ и $\vec{DE}$, сначала найдем их координаты.

1. Находим координаты вектора $\vec{AB}$.
Координаты вектора вычисляются как разность соответствующих координат его конечной и начальной точек. Даны точки $A(10; -8; 24)$ и $B(-2; 8; 4)$.
$\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A) = (-2 - 10; 8 - (-8); 4 - 24) = (-12; 16; -20)$.

2. Находим координаты вектора $\vec{DE}$.
Даны точки $D(-1; 3; 2)$ и $E(2; -1; 7)$.
$\vec{DE} = (x_E - x_D; y_E - y_D; z_E - z_D) = (2 - (-1); -1 - 3; 7 - 2) = (3; -4; 5)$.

3. Проверяем пропорциональность координат.
Сравним отношения соответствующих координат векторов $\vec{AB} = (-12; 16; -20)$ и $\vec{DE} = (3; -4; 5)$:
$\frac{-12}{3} = -4$
$\frac{16}{-4} = -4$
$\frac{-20}{5} = -4$

Так как отношения всех пар соответствующих координат равны одному и тому же числу (-4), то координаты векторов пропорциональны. Следовательно, векторы $\vec{AB}$ и $\vec{DE}$ коллинеарны, причем $\vec{AB} = -4\vec{DE}$.

Ответ: да, векторы коллинеарны.

57. Найдите среди векторов $ \vec{a} (3; -2; 4) $, $ \vec{b} (-0,6; 0,4; -0,8) $, $ \vec{d} (-9; 6; -12) $ и $ \vec{m} (30; -20; 40) $ сонаправленные и противоположно направленные векторы.

57. Найдите среди векторов $\vec{a} (3; -2; 4)$, $\vec{b} (-0.6; 0.4; -0.8)$, $\vec{d} (-9; 6; -12)$ и $\vec{m} (30; -20; 40)$ сонаправленные и противоположно направленные векторы.

Два ненулевых вектора $\vec{u}(x_1; y_1; z_1)$ и $\vec{v}(x_2; y_2; z_2)$ являются коллинеарными, если их соответствующие координаты пропорциональны, то есть существует такое число $k \neq 0$, что $\vec{v} = k \cdot \vec{u}$. Это можно записать в виде равенства отношений: $\frac{x_2}{x_1} = \frac{y_2}{y_1} = \frac{z_2}{z_1} = k$.

• Если коэффициент пропорциональности $k > 0$, то векторы сонаправлены ($\vec{u} \uparrow\uparrow \vec{v}$).
• Если коэффициент пропорциональности $k < 0$, то векторы противоположно направлены ($\vec{u} \uparrow\downarrow \vec{v}$).

Проверим попарно данные векторы: $\vec{a}(3; -2; 4)$, $\vec{b}(-0,6; 0,4; -0,8)$, $\vec{d}(-9; 6; -12)$ и $\vec{m}(30; -20; 40)$.

Найдем пары векторов, для которых коэффициент пропорциональности $k$ положителен.

1. Сравним векторы $\vec{a}$ и $\vec{m}$. Найдем отношение их соответствующих координат:

$\frac{m_x}{a_x} = \frac{30}{3} = 10$; $\frac{m_y}{a_y} = \frac{-20}{-2} = 10$; $\frac{m_z}{a_z} = \frac{40}{4} = 10$.

Так как отношения равны $k=10$ и $k>0$, векторы $\vec{a}$ и $\vec{m}$ сонаправлены.

2. Сравним векторы $\vec{b}$ и $\vec{d}$. Найдем отношение их соответствующих координат:

$\frac{d_x}{b_x} = \frac{-9}{-0,6} = 15$; $\frac{d_y}{b_y} = \frac{6}{0,4} = 15$; $\frac{d_z}{b_z} = \frac{-12}{-0,8} = 15$.

Так как отношения равны $k=15$ и $k>0$, векторы $\vec{b}$ и $\vec{d}$ сонаправлены.

Ответ: сонаправленные пары векторов: ($\vec{a}$, $\vec{m}$) и ($\vec{b}$, $\vec{d}$).

Найдем пары векторов, для которых коэффициент пропорциональности $k$ отрицателен.

1. Сравним векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

$\frac{b_x}{a_x} = \frac{-0,6}{3} = -0,2$; $\frac{b_y}{a_y} = \frac{0,4}{-2} = -0,2$; $\frac{b_z}{a_z} = \frac{-0,8}{4} = -0,2$.

Коэффициент $k=-0,2 < 0$, следовательно, векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ противоположно направлены.

2. Сравним векторы $\vec{a}$ и $\vec{d}$:

$\frac{d_x}{a_x} = \frac{-9}{3} = -3$; $\frac{d_y}{a_y} = \frac{6}{-2} = -3$; $\frac{d_z}{a_z} = \frac{-12}{4} = -3$.

Коэффициент $k=-3 < 0$, следовательно, векторы $\vec{a}$ и $\vec{d}$ противоположно направлены.

Поскольку все четыре вектора коллинеарны, и мы разделили их на две группы сонаправленных векторов: ($\vec{a}, \vec{m}$) и ($\vec{b}, \vec{d}$), то любой вектор из первой группы будет противоположно направлен любому вектору из второй группы. Значит, противоположно направленными также являются пары ($\vec{m}, \vec{b}$) и ($\vec{m}, \vec{d}$).

Ответ: противоположно направленные пары векторов: ($\vec{a}$, $\vec{b}$), ($\vec{a}$, $\vec{d}$), ($\vec{m}$, $\vec{b}$) и ($\vec{m}$, $\vec{d}$).

58. Найдите значения y и z, при которых векторы
$\vec{a} (3; y; 6)$ и $\vec{b} (-6; 4; z)$ будут коллинеарными.

58. Найдите значения $y$ и $z$, при которых векторы $\vec{a} (3; y; 6)$ и $\vec{b} (-6; 4; z)$ будут коллинеарными.

Два вектора $\vec{a}(x_a; y_a; z_a)$ и $\vec{b}(x_b; y_b; z_b)$ являются коллинеарными, если их соответствующие координаты пропорциональны. Это означает, что существует такое число $k$, что $\vec{b} = k \cdot \vec{a}$, или, что то же самое, выполняется соотношение:

$\frac{x_b}{x_a} = \frac{y_b}{y_a} = \frac{z_b}{z_a} = k$

Подставим координаты данных векторов $\vec{a}(3; y; 6)$ и $\vec{b}(-6; 4; z)$ в это условие:

$\frac{-6}{3} = \frac{4}{y} = \frac{z}{6}$

Сначала найдем значение отношения для известных координат, чтобы определить коэффициент пропорциональности $k$:

$k = \frac{-6}{3} = -2$

Теперь, зная коэффициент $k$, мы можем найти неизвестные значения $y$ и $z$, приравнивая к нему остальные отношения.

Найдем $y$:

$\frac{4}{y} = -2$

$4 = -2y$

$y = \frac{4}{-2} = -2$

Найдем $z$:

$\frac{z}{6} = -2$

$z = -2 \cdot 6 = -12$

Таким образом, векторы будут коллинеарны при $y = -2$ и $z = -12$.

Ответ: $y = -2$, $z = -12$.

59. Дан вектор $\vec{a} (-3; 2; 6)$. Найдите координаты вектора $\vec{b}$, противоположно направленного с вектором $\vec{a}$, если $|\vec{b}| = 21$.

59. Дан вектор $\vec{a} (-3; 2; 6)$. Найдите координаты вектора $\vec{b}$, противоположно направленного с вектором $\vec{a}$, если $|\vec{b}| = 21$.

По условию, вектор $\vec{b}$ противоположно направлен вектору $\vec{a}$. Это означает, что векторы коллинеарны, и вектор $\vec{b}$ можно представить в виде произведения вектора $\vec{a}$ на некоторое отрицательное число $k$ ($k < 0$):

$\vec{b} = k \cdot \vec{a}$

Длина (модуль) вектора $\vec{b}$ связана с длиной вектора $\vec{a}$ через модуль коэффициента $k$:

$|\vec{b}| = |k| \cdot |\vec{a}|$

Поскольку $k$ — отрицательное число, то $|k| = -k$. Таким образом, мы можем записать:

$|\vec{b}| = -k \cdot |\vec{a}|$

1. Найдем модуль вектора $\vec{a}(-3; 2; 6)$:

$|\vec{a}| = \sqrt{(-3)^2 + 2^2 + 6^2} = \sqrt{9 + 4 + 36} = \sqrt{49} = 7$

2. Теперь найдем коэффициент $k$, используя известные значения $|\vec{b}| = 21$ и $|\vec{a}| = 7$:

$21 = -k \cdot 7$

$-k = \frac{21}{7}$

$-k = 3$

$k = -3$

3. Наконец, найдем координаты вектора $\vec{b}$, умножив координаты вектора $\vec{a}$ на найденный коэффициент $k = -3$:

$\vec{b} = -3 \cdot \vec{a} = -3 \cdot (-3; 2; 6) = (-3 \cdot (-3); -3 \cdot 2; -3 \cdot 6) = (9; -6; -18)$

Ответ: $(9; -6; -18)$

60. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ с вершинами $A (2; -3; 1),$ $B (-4; 2; 3),$ $C (6; 1; -4)$ и $D (22; -5; -13)$ является трапецией.

60. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ с вершинами $A (2; -3; 1)$, $B (-4; 2; 3)$, $C (6; 1; -4)$ и $D (22; -5; -13)$ является трапецией.

Трапецией называется четырёхугольник, у которого две противоположные стороны параллельны, а две другие — не параллельны. Для того чтобы доказать, что четырёхугольник ABCD является трапецией, необходимо найти векторы, соответствующие его сторонам, и проверить их на коллинеарность. Две стороны параллельны, если соответствующие им векторы коллинеарны (то есть их координаты пропорциональны).

Даны вершины четырёхугольника: $A(2; -3; 1)$, $B(-4; 2; 3)$, $C(6; 1; -4)$ и $D(22; -5; -13)$.

Найдём координаты векторов, соответствующих сторонам четырёхугольника. Координаты вектора, идущего из точки $X(x_1, y_1, z_1)$ в точку $Y(x_2, y_2, z_2)$, вычисляются по формуле $\vec{XY} = (x_2 - x_1; y_2 - y_1; z_2 - z_1)$.

$\vec{AB} = (-4 - 2; 2 - (-3); 3 - 1) = (-6; 5; 2)$

$\vec{BC} = (6 - (-4); 1 - 2; -4 - 3) = (10; -1; -7)$

$\vec{CD} = (22 - 6; -5 - 1; -13 - (-4)) = (16; -6; -9)$

$\vec{AD} = (22 - 2; -5 - (-3); -13 - 1) = (20; -2; -14)$

Теперь проверим на коллинеарность векторы, соответствующие противоположным сторонам: $\vec{BC}$ и $\vec{AD}$, а также $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$.

1. Проверим пару векторов $\vec{BC}$ и $\vec{AD}$.
$\vec{BC} = (10; -1; -7)$
$\vec{AD} = (20; -2; -14)$
Найдём отношения их соответствующих координат:
$\frac{20}{10} = 2$
$\frac{-2}{-1} = 2$
$\frac{-14}{-7} = 2$
Поскольку отношения всех соответствующих координат равны, векторы коллинеарны, причём $\vec{AD} = 2\vec{BC}$. Это означает, что стороны BC и AD параллельны.

2. Проверим пару векторов $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$.
$\vec{AB} = (-6; 5; 2)$
$\vec{CD} = (16; -6; -9)$
Найдём отношения их соответствующих координат:
$\frac{16}{-6} = -\frac{8}{3}$
$\frac{-6}{5}$
Так как $\frac{16}{-6} \neq \frac{-6}{5}$, координаты векторов не пропорциональны. Следовательно, векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ не коллинеарны, а стороны AB и CD не параллельны.

Так как в четырёхугольнике ABCD одна пара противоположных сторон (BC и AD) параллельна, а другая пара (AB и CD) не параллельна, то этот четырёхугольник является трапецией.

Ответ: Четырёхугольник ABCD является трапецией, так как его стороны BC и AD параллельны (векторы $\vec{BC}$ и $\vec{AD}$ коллинеарны), а стороны AB и CD не параллельны (векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ не коллинеарны), что соответствует определению трапеции.

61. Используя векторы, определите, лежат ли точки $A (2; 3; -7)$, $B (4; 5; -1)$ и $C (0; 1; 11)$ на одной прямой.

61. Используя векторы, определите, лежат ли точки $A (2; 3; -7)$, $B (4; 5; -1)$ и $C (0; 1; 11)$ на одной прямой.

Для того чтобы определить, лежат ли три точки A, B и C на одной прямой, необходимо проверить, являются ли векторы, образованные этими точками, коллинеарными. Если точки лежат на одной прямой, то векторы, построенные на этих точках (например, $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$), будут параллельны (коллинеарны).

Два вектора коллинеарны, если их соответствующие координаты пропорциональны. То есть, для векторов $\vec{a} = \{x_1; y_1; z_1\}$ и $\vec{b} = \{x_2; y_2; z_2\}$ должно выполняться условие $\vec{b} = k \cdot \vec{a}$, или, что то же самое, $\frac{x_2}{x_1} = \frac{y_2}{y_1} = \frac{z_2}{z_1} = k$, где $k$ – коэффициент пропорциональности.

1. Найдем координаты векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$.

Координаты вектора вычисляются как разность соответствующих координат его конца и начала.

Даны точки: A(2; 3; -7), B(4; 5; -1) и C(0; 1; 11).

Координаты вектора $\vec{AB}$:

$\vec{AB} = \{x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A\} = \{4 - 2; 5 - 3; -1 - (-7)\} = \{2; 2; 6\}$

Координаты вектора $\vec{AC}$:

$\vec{AC} = \{x_C - x_A; y_C - y_A; z_C - z_A\} = \{0 - 2; 1 - 3; 11 - (-7)\} = \{-2; -2; 18\}$

2. Проверим коллинеарность векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$.

Для этого составим отношения их соответствующих координат:

$\frac{x_{AC}}{x_{AB}} = \frac{-2}{2} = -1$

$\frac{y_{AC}}{y_{AB}} = \frac{-2}{2} = -1$

$\frac{z_{AC}}{z_{AB}} = \frac{18}{6} = 3$

Так как отношения координат не равны между собой ($-1 \neq 3$), то координаты векторов не пропорциональны. Следовательно, векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ не являются коллинеарными.

Поскольку векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$, выходящие из одной точки A, не коллинеарны, точки A, B и C не лежат на одной прямой.

Ответ: Точки A, B и C не лежат на одной прямой.

62. Дан параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Выразите вектор $\vec{DB_1}$ через векторы $\vec{AB}$, $\vec{AD}$ и $\vec{AA_1}$.

62. Дан параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Выразите вектор $\vec{DB_1}$ через векторы $\vec{AB}$, $\vec{AD}$ и $\vec{AA_1}$.

Для того чтобы выразить вектор $\vec{DB_1}$ через векторы $\vec{AB}$, $\vec{AD}$ и $\vec{AA_1}$, воспользуемся правилом сложения векторов (правилом многоугольника). Вектор $\vec{DB_1}$ можно представить как сумму векторов, составляющих ломаную линию от начальной точки D до конечной точки B₁.

Один из возможных путей — это путь D → A → B → B₁. В этом случае вектор $\vec{DB_1}$ можно записать в виде следующей суммы:

$\vec{DB_1} = \vec{DA} + \vec{AB} + \vec{BB_1}$

Теперь необходимо выразить каждый из векторов в правой части равенства через заданные в условии векторы:

• Вектор $\vec{DA}$ направлен противоположно вектору $\vec{AD}$, следовательно, $\vec{DA} = -\vec{AD}$.
• Вектор $\vec{AB}$ уже является одним из базисных векторов.
• Поскольку $ABCDA_1B_1C_1D_1$ является параллелепипедом, его боковые ребра параллельны и равны. Это означает, что векторы, соответствующие этим ребрам, равны, то есть $\vec{BB_1} = \vec{AA_1}$.

Теперь подставим полученные выражения в исходное равенство для вектора $\vec{DB_1}$:

$\vec{DB_1} = (-\vec{AD}) + \vec{AB} + \vec{AA_1}$

Переставив слагаемые для более стандартного вида, получим окончательное выражение:

$\vec{DB_1} = \vec{AB} - \vec{AD} + \vec{AA_1}$

Ответ: $\vec{DB_1} = \vec{AB} - \vec{AD} + \vec{AA_1}$