Номер 57, страница 9 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

57. Найдите среди векторов $ \vec{a} (3; -2; 4) $, $ \vec{b} (-0,6; 0,4; -0,8) $, $ \vec{d} (-9; 6; -12) $ и $ \vec{m} (30; -20; 40) $ сонаправленные и противоположно направленные векторы.

57. Найдите среди векторов $\vec{a} (3; -2; 4)$, $\vec{b} (-0.6; 0.4; -0.8)$, $\vec{d} (-9; 6; -12)$ и $\vec{m} (30; -20; 40)$ сонаправленные и противоположно направленные векторы.

Два ненулевых вектора $\vec{u}(x_1; y_1; z_1)$ и $\vec{v}(x_2; y_2; z_2)$ являются коллинеарными, если их соответствующие координаты пропорциональны, то есть существует такое число $k \neq 0$, что $\vec{v} = k \cdot \vec{u}$. Это можно записать в виде равенства отношений: $\frac{x_2}{x_1} = \frac{y_2}{y_1} = \frac{z_2}{z_1} = k$.

• Если коэффициент пропорциональности $k > 0$, то векторы сонаправлены ($\vec{u} \uparrow\uparrow \vec{v}$).
• Если коэффициент пропорциональности $k < 0$, то векторы противоположно направлены ($\vec{u} \uparrow\downarrow \vec{v}$).

Проверим попарно данные векторы: $\vec{a}(3; -2; 4)$, $\vec{b}(-0,6; 0,4; -0,8)$, $\vec{d}(-9; 6; -12)$ и $\vec{m}(30; -20; 40)$.

Найдем пары векторов, для которых коэффициент пропорциональности $k$ положителен.

1. Сравним векторы $\vec{a}$ и $\vec{m}$. Найдем отношение их соответствующих координат:

$\frac{m_x}{a_x} = \frac{30}{3} = 10$; $\frac{m_y}{a_y} = \frac{-20}{-2} = 10$; $\frac{m_z}{a_z} = \frac{40}{4} = 10$.

Так как отношения равны $k=10$ и $k>0$, векторы $\vec{a}$ и $\vec{m}$ сонаправлены.

2. Сравним векторы $\vec{b}$ и $\vec{d}$. Найдем отношение их соответствующих координат:

$\frac{d_x}{b_x} = \frac{-9}{-0,6} = 15$; $\frac{d_y}{b_y} = \frac{6}{0,4} = 15$; $\frac{d_z}{b_z} = \frac{-12}{-0,8} = 15$.

Так как отношения равны $k=15$ и $k>0$, векторы $\vec{b}$ и $\vec{d}$ сонаправлены.

Ответ: сонаправленные пары векторов: ($\vec{a}$, $\vec{m}$) и ($\vec{b}$, $\vec{d}$).

Найдем пары векторов, для которых коэффициент пропорциональности $k$ отрицателен.

1. Сравним векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

$\frac{b_x}{a_x} = \frac{-0,6}{3} = -0,2$; $\frac{b_y}{a_y} = \frac{0,4}{-2} = -0,2$; $\frac{b_z}{a_z} = \frac{-0,8}{4} = -0,2$.

Коэффициент $k=-0,2 < 0$, следовательно, векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ противоположно направлены.

2. Сравним векторы $\vec{a}$ и $\vec{d}$:

$\frac{d_x}{a_x} = \frac{-9}{3} = -3$; $\frac{d_y}{a_y} = \frac{6}{-2} = -3$; $\frac{d_z}{a_z} = \frac{-12}{4} = -3$.

Коэффициент $k=-3 < 0$, следовательно, векторы $\vec{a}$ и $\vec{d}$ противоположно направлены.

Поскольку все четыре вектора коллинеарны, и мы разделили их на две группы сонаправленных векторов: ($\vec{a}, \vec{m}$) и ($\vec{b}, \vec{d}$), то любой вектор из первой группы будет противоположно направлен любому вектору из второй группы. Значит, противоположно направленными также являются пары ($\vec{m}, \vec{b}$) и ($\vec{m}, \vec{d}$).

Ответ: противоположно направленные пары векторов: ($\vec{a}$, $\vec{b}$), ($\vec{a}$, $\vec{d}$), ($\vec{m}$, $\vec{b}$) и ($\vec{m}$, $\vec{d}$).