Номер 50, страница 8 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

50. Дан параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Выразите вектор $\vec{C_1C}$ через векторы $\vec{DA_1}$, $\vec{DB_1}$ и $\vec{DC_1}$.

50. Дан параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Выразите вектор $\vec{C_1C}$ через векторы $\vec{DA_1}$, $\vec{DB_1}$ и $\vec{DC_1}$.

Для решения задачи представим искомый вектор $\vec{C_1C}$ в виде суммы других векторов, которые можно выразить через заданные векторы $\vec{DA_1}$, $\vec{DB_1}$ и $\vec{DC_1}$.

Воспользуемся правилом сложения векторов (правилом многоугольника), чтобы разложить вектор $\vec{C_1C}$. Удобно использовать точку D в качестве промежуточной, так как все заданные векторы исходят из нее: $\vec{C_1C} = \vec{C_1D} + \vec{DC}$.

Теперь выразим каждый из векторов в правой части равенства через заданные.

1. Вектор $\vec{C_1D}$ является противоположным заданному вектору $\vec{DC_1}$, поэтому: $\vec{C_1D} = -\vec{DC_1}$.

2. Для того чтобы выразить вектор $\vec{DC}$, рассмотрим разность двух других заданных векторов: $\vec{DB_1}$ и $\vec{DA_1}$. По правилу вычитания векторов, исходящих из одной точки: $\vec{DB_1} - \vec{DA_1} = \vec{A_1B_1}$.

Поскольку $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — параллелепипед, его противоположные грани являются равными и параллельными параллелограммами. В частности, $A_1B_1C_1D_1$ и $ABCD$ — равные и параллельные параллелограммы. Следовательно, векторы, определяющие их соответствующие стороны, равны: $\vec{A_1B_1} = \vec{DC}$.

Таким образом, мы получили выражение для $\vec{DC}$ через заданные векторы: $\vec{DC} = \vec{DB_1} - \vec{DA_1}$.

Теперь подставим полученные выражения для $\vec{C_1D}$ и $\vec{DC}$ в исходную формулу для $\vec{C_1C}$: $\vec{C_1C} = \vec{C_1D} + \vec{DC} = (-\vec{DC_1}) + (\vec{DB_1} - \vec{DA_1})$.

Перегруппировав слагаемые, получим окончательное выражение: $\vec{C_1C} = \vec{DB_1} - \vec{DA_1} - \vec{DC_1}$.

Ответ: $\vec{C_1C} = \vec{DB_1} - \vec{DA_1} - \vec{DC_1}$.