Номер 48, страница 8 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

48. Дан параллелепипед $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$. Найдите сумму векторов $\vec{DA} + \vec{DC} + \vec{B_1 D_1} + \vec{BA} + \vec{A_1 C_1}$.

48. Дан параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Найдите сумму

векторов $\vec{DA} + \vec{DC} + \vec{B_1D_1} + \vec{BA} + \vec{A_1C_1}$.

Для того чтобы найти сумму векторов $\vec{DA} + \vec{DC} + \vec{B_1D_1} + \vec{BA} + \vec{A_1C_1}$, воспользуемся свойствами векторов в параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

В параллелограмме $ABCD$, который является основанием параллелепипеда, противоположные стороны параллельны и равны по длине, поэтому векторы, построенные на них, связаны соотношением $\vec{BA} = \vec{CD}$. Заменим в исходном выражении вектор $\vec{BA}$ на равный ему вектор $\vec{CD}$:

$\vec{DA} + \vec{DC} + \vec{B_1D_1} + \vec{BA} + \vec{A_1C_1} = \vec{DA} + \vec{DC} + \vec{B_1D_1} + \vec{CD} + \vec{A_1C_1}$

Перегруппируем слагаемые, чтобы сложить векторы $\vec{DC}$ и $\vec{CD}$. Эти векторы являются противоположными (коллинеарны, равны по модулю и противоположно направлены), поэтому их сумма равна нулевому вектору:

$\vec{DC} + \vec{CD} = \vec{DD} = \vec{0}$

Подставив это в выражение, получим:

$\vec{DA} + (\vec{DC} + \vec{CD}) + \vec{B_1D_1} + \vec{A_1C_1} = \vec{DA} + \vec{0} + \vec{B_1D_1} + \vec{A_1C_1} = \vec{DA} + \vec{B_1D_1} + \vec{A_1C_1}$

В параллелепипеде противоположные грани равны и параллельны. Это означает, что векторы, построенные на соответственных диагоналях этих граней, равны. Таким образом, для диагоналей верхнего ($A_1B_1C_1D_1$) и нижнего ($ABCD$) оснований имеем:

$\vec{B_1D_1} = \vec{BD}$

$\vec{A_1C_1} = \vec{AC}$

Произведем замену в нашем выражении:

$\vec{DA} + \vec{BD} + \vec{AC}$

Теперь воспользуемся правилом треугольника для сложения векторов (также известным как правило Шаля). Для первых двух векторов, где конец первого вектора совпадает с началом второго:

$\vec{DA} + \vec{BD} = \vec{BA}$

Выражение упрощается до:

$\vec{BA} + \vec{AC}$

Применив правило треугольника еще раз, получаем окончательный результат:

$\vec{BA} + \vec{AC} = \vec{BC}$

Таким образом, искомая сумма векторов равна $\vec{BC}$.

Ответ: $\vec{BC}$