Страница 8 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

39. Может ли быть нулевым вектором сумма трёх векторов, модули которых равны:

1) 10; 13; 17;

2) 9; 12; 21;

3) 8; 11; 20?

39. Может ли быть нулевым вектором сумма трёх векторов, модули которых равны:

1) 10; 13; 17;

2) 9; 12; 21;

3) 8; 11; 20?

Сумма трех векторов $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ может быть нулевым вектором, то есть $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$, если эти векторы могут образовать замкнутый треугольник. Длины сторон этого треугольника равны модулям векторов: $|\vec{a}|$, $|\vec{b}|$, $|\vec{c}|$.

Для того чтобы из трех отрезков можно было составить треугольник, необходимо и достаточно, чтобы длина наибольшего отрезка была не больше суммы длин двух других (неравенство треугольника).

1) 10; 13; 17;

Проверим выполнение неравенства треугольника для модулей $10$, $13$ и $17$. Наибольший модуль равен $17$.
Сумма двух других модулей: $10 + 13 = 23$.
Сравниваем: $17 < 23$.
Так как наибольший модуль меньше суммы двух других ($17 \le 10 + 13$), из таких векторов можно составить треугольник. Следовательно, их сумма может быть нулевым вектором.
Ответ: да, может.

2) 9; 12; 21;

Проверим выполнение неравенства треугольника для модулей $9$, $12$ и $21$. Наибольший модуль равен $21$.
Сумма двух других модулей: $9 + 12 = 21$.
Сравниваем: $21 = 21$.
Так как наибольший модуль равен сумме двух других ($21 \le 9 + 12$), векторы могут образовать вырожденный треугольник. Это происходит, когда два вектора (с модулями $9$ и $12$) коллинеарны и сонаправлены, а третий вектор (с модулем $21$) коллинеарен им и направлен в противоположную сторону. Их сумма будет нулевым вектором.
Ответ: да, может.

3) 8; 11; 20?

Проверим выполнение неравенства треугольника для модулей $8$, $11$ и $20$. Наибольший модуль равен $20$.
Сумма двух других модулей: $8 + 11 = 19$.
Сравниваем: $20 > 19$.
Так как наибольший модуль больше суммы двух других ($20 > 8 + 11$), неравенство треугольника не выполняется. Из отрезков такой длины невозможно составить треугольник. Следовательно, сумма векторов с такими модулями не может быть нулевым вектором.
Ответ: нет, не может.

40. Даны векторы $\vec{m}(3; -4; 5)$ и $\vec{n}(-2; 3; 7)$. Найдите:

1) координаты вектора $\vec{m} + \vec{n}$;

2) $\left|\vec{m} + \vec{n}\right|$.

40. Даны векторы $ \vec{m} (3; -4; 5) $ и $ \vec{n} (-2; 3; 7) $. Найдите:

1) координаты вектора $ \vec{m} + \vec{n} $;

2) $ |\vec{m} + \vec{n}| $.

1) координаты вектора \(\vec{m} + \vec{n}\);
Чтобы найти координаты суммы двух векторов, необходимо сложить их соответствующие координаты. Даны векторы \(\vec{m}(3; -4; 5)\) и \(\vec{n}(-2; 3; 7)\). Обозначим результирующий вектор как \(\vec{c} = \vec{m} + \vec{n}\). Его координаты будут:
\(x_c = x_m + x_n = 3 + (-2) = 1\)
\(y_c = y_m + y_n = -4 + 3 = -1\)
\(z_c = z_m + z_n = 5 + 7 = 12\)
Таким образом, координаты вектора \(\vec{m} + \vec{n}\) равны (1; -1; 12).
Ответ: (1; -1; 12).

2) \(|\vec{m} + \vec{n}|\).
Модуль (или длина) вектора \(\vec{a}(x; y; z)\) вычисляется по формуле: \(|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\). Мы уже нашли координаты вектора \(\vec{m} + \vec{n}\), они равны (1; -1; 12). Теперь найдем его модуль:
\(|\vec{m} + \vec{n}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 12^2} = \sqrt{1 + 1 + 144} = \sqrt{146}\).
Число 146 можно разложить на простые множители как \(2 \cdot 73\), поэтому корень из этого числа не упрощается.
Ответ: \(\sqrt{146}\).

41. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Найдите разность векторов:

1) $\vec{B_1A}$ и $\vec{A_1D_1}$;

2) $\vec{A_1C}$ и $\vec{D_1D}$.

41. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Найдите разность векторов:

1) $\vec{B_1A}$ и $\vec{A_1D_1}$;

2) $\vec{A_1C}$ и $\vec{D_1D}$.

1) $\vec{B_1A}$ и $\vec{A_1D_1}$

Чтобы найти разность векторов $\vec{B_1A} - \vec{A_1D_1}$, воспользуемся свойствами векторов в кубе. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ векторы, соответствующие параллельным и одинаково направленным ребрам, равны. Вектор $\vec{A_1D_1}$ равен вектору $\vec{B_1C_1}$, так как отрезки $A_1D_1$ и $B_1C_1$ параллельны, равны по длине и сонаправлены.

Заменим в исходном выражении вектор $\vec{A_1D_1}$ на равный ему вектор $\vec{B_1C_1}$:

$\vec{B_1A} - \vec{A_1D_1} = \vec{B_1A} - \vec{B_1C_1}$

Разность двух векторов, выходящих из одной точки (в данном случае из точки $B_1$), есть вектор, соединяющий конец вычитаемого вектора (точка $C_1$) с концом уменьшаемого вектора (точка $A$). Таким образом:

$\vec{B_1A} - \vec{B_1C_1} = \vec{C_1A}$

Другой способ — это сложение с противоположным вектором:

$\vec{B_1A} - \vec{B_1C_1} = \vec{B_1A} + (-\vec{B_1C_1}) = \vec{B_1A} + \vec{C_1B_1} = \vec{C_1B_1} + \vec{B_1A} = \vec{C_1A}$

Ответ: $\vec{C_1A}$.

2) $\vec{A_1C}$ и $\vec{D_1D}$

Найдем разность векторов $\vec{A_1C} - \vec{D_1D}$. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ вектор $\vec{D_1D}$ равен вектору $\vec{A_1A}$, так как ребра $D_1D$ и $A_1A$ параллельны, равны по длине и сонаправлены.

Заменим вектор $\vec{D_1D}$ на равный ему вектор $\vec{A_1A}$:

$\vec{A_1C} - \vec{D_1D} = \vec{A_1C} - \vec{A_1A}$

Применяя правило вычитания векторов, выходящих из одной точки (в данном случае из точки $A_1$), получаем вектор, который начинается в конце вычитаемого вектора (точка $A$) и заканчивается в конце уменьшаемого вектора (точка $C$):

$\vec{A_1C} - \vec{A_1A} = \vec{AC}$

Используя сложение с противоположным вектором:

$\vec{A_1C} - \vec{A_1A} = \vec{A_1C} + (-\vec{A_1A}) = \vec{A_1C} + \vec{AA_1} = \vec{AA_1} + \vec{A_1C} = \vec{AC}$

Ответ: $\vec{AC}$.

42. Даны векторы $\vec{m}$ (3; -4; 5) и $\vec{n}$ (-2; 3; 7). Найдите $|\vec{m} - \vec{n}|.$

42. Даны векторы $\vec{m} (3; -4; 5)$ и $\vec{n} (-2; 3; 7)$. Найдите $|\vec{m}-\vec{n}|$.

Для того чтобы найти модуль разности векторов $|\vec{m} - \vec{n}|$, необходимо выполнить два шага: сначала найти координаты вектора, который является разностью векторов $\vec{m}$ и $\vec{n}$, а затем вычислить модуль (длину) этого нового вектора.

1. Нахождение координат вектора разности.

Даны векторы $\vec{m}$ с координатами $(3; -4; 5)$ и $\vec{n}$ с координатами $(-2; 3; 7)$.

Чтобы найти координаты вектора $\vec{m} - \vec{n}$, нужно из каждой координаты вектора $\vec{m}$ вычесть соответствующую координату вектора $\vec{n}$:

$\vec{m} - \vec{n} = (3 - (-2); -4 - 3; 5 - 7)$

$\vec{m} - \vec{n} = (3 + 2; -7; -2)$

$\vec{m} - \vec{n} = (5; -7; -2)$

Таким образом, мы получили вектор разности с координатами $(5; -7; -2)$.

2. Вычисление модуля вектора разности.

Модуль вектора с координатами $(x; y; z)$ вычисляется по формуле: $|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.

Применим эту формулу к нашему вектору разности $(5; -7; -2)$:

$|\vec{m} - \vec{n}| = \sqrt{5^2 + (-7)^2 + (-2)^2}$

$|\vec{m} - \vec{n}| = \sqrt{25 + 49 + 4}$

$|\vec{m} - \vec{n}| = \sqrt{78}$

Число 78 нельзя упростить, извлекая из-под корня целый множитель, так как его разложение на простые множители ($78 = 2 \cdot 3 \cdot 13$) не содержит квадратов.

Ответ: $\sqrt{78}$.

43. Найдите координаты точки B такой, что $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{0}$, если $A (-1; 9; -3)$, $C (2; 11; -7)$.

43. Найдите координаты точки B такой, что $\vec{AB} - \vec{BC} = \vec{0}$, если $A (-1; 9; -3)$, $C (2; 11; -7)$.

По условию задачи дано векторное уравнение $\vec{AB} - \vec{BC} = \vec{0}$.
Это уравнение можно переписать в виде $\vec{AB} = \vec{BC}$.
Равенство векторов означает, что их соответствующие координаты равны. Это также геометрически означает, что точка B является серединой отрезка AC.
Найдем координаты точки B двумя способами.

Способ 1: Через координаты векторов
Пусть искомая точка $B$ имеет координаты $(x; y; z)$.
Координаты вектора находятся как разность соответствующих координат его конца и начала.
Найдем координаты вектора $\vec{AB}$, зная координаты точки $A(-1; 9; -3)$:
$\vec{AB} = \{x - (-1); y - 9; z - (-3)\} = \{x + 1; y - 9; z + 3\}$.
Найдем координаты вектора $\vec{BC}$, зная координаты точки $C(2; 11; -7)$:
$\vec{BC} = \{2 - x; 11 - y; -7 - z\}$.
Так как $\vec{AB} = \vec{BC}$, приравняем их соответствующие координаты и получим систему уравнений:
$x + 1 = 2 - x$
$y - 9 = 11 - y$
$z + 3 = -7 - z$
Теперь решим каждое уравнение:
$x + x = 2 - 1 \implies 2x = 1 \implies x = 0,5$
$y + y = 11 + 9 \implies 2y = 20 \implies y = 10$
$z + z = -7 - 3 \implies 2z = -10 \implies z = -5$
Таким образом, координаты точки $B$ равны $(0,5; 10; -5)$.

Способ 2: Через формулу середины отрезка
Как было отмечено, условие $\vec{AB} = \vec{BC}$ означает, что точка $B$ является серединой отрезка $AC$.
Координаты середины отрезка вычисляются как среднее арифметическое координат его концов.
$x_B = \frac{x_A + x_C}{2} = \frac{-1 + 2}{2} = \frac{1}{2} = 0,5$
$y_B = \frac{y_A + y_C}{2} = \frac{9 + 11}{2} = \frac{20}{2} = 10$
$z_B = \frac{z_A + z_C}{2} = \frac{-3 + (-7)}{2} = \frac{-10}{2} = -5$
Координаты точки $B$, полученные вторым способом, совпадают с результатом первого способа.

Ответ: $B(0,5; 10; -5)$.

44. Даны векторы $\vec{b}$ (3; -5; -1), $\vec{c}$ (x; -8; 2) и $\vec{d}$ (-4; 4; 5).

Какое наименьшее значение принимает модуль вектора $\vec{b} - \vec{c} + \vec{d}$?

44. Даны векторы $\vec{b}$ (3; -5; -1), $\vec{c}$ (x; -8; 2) и $\vec{d}$ (-4; 4; 5).

Какое наименьшее значение принимает модуль вектора $\vec{b} - \vec{c} + \vec{d}$?

Чтобы найти наименьшее значение модуля вектора $\vec{b} - \vec{c} + \vec{d}$, сначала определим координаты этого вектора. Пусть $\vec{a} = \vec{b} - \vec{c} + \vec{d}$.

Координаты вектора $\vec{a}$ вычисляются путем выполнения соответствующих арифметических операций над координатами данных векторов:

$\vec{a} = (3 - x + (-4); \quad -5 - (-8) + 4; \quad -1 - 2 + 5)$

$\vec{a} = (3 - x - 4; \quad -5 + 8 + 4; \quad -1 - 2 + 5)$

$\vec{a} = (-1 - x; \quad 7; \quad 2)$

Далее найдем модуль (длину) вектора $\vec{a}$. Модуль вектора с координатами $(a_x, a_y, a_z)$ вычисляется по формуле $|\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}$.

Подставим координаты вектора $\vec{a}$:

$|\vec{a}| = |\vec{b} - \vec{c} + \vec{d}| = \sqrt{(-1 - x)^2 + 7^2 + 2^2}$

$|\vec{a}| = \sqrt{(-(1 + x))^2 + 49 + 4}$

$|\vec{a}| = \sqrt{(1 + x)^2 + 53}$

Для нахождения наименьшего значения модуля необходимо найти наименьшее значение выражения $\sqrt{(1 + x)^2 + 53}$. Так как функция квадратного корня является монотонно возрастающей, ее наименьшее значение достигается при наименьшем значении подкоренного выражения.

Рассмотрим подкоренное выражение: $(1 + x)^2 + 53$. Слагаемое $(1 + x)^2$ представляет собой квадрат действительного числа, поэтому его значение всегда неотрицательно: $(1 + x)^2 \ge 0$. Наименьшее значение этого слагаемого равно 0 и достигается при условии $1 + x = 0$, то есть при $x = -1$.

Следовательно, наименьшее значение всего подкоренного выражения равно $0 + 53 = 53$.

Таким образом, наименьшее значение модуля вектора $\vec{b} - \vec{c} + \vec{d}$ равно корню из этого значения:

$|\vec{a}|_{min} = \sqrt{53}$

Ответ: $\sqrt{53}$

45. Дан параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Укажите все векторы, противоположные вектору:

1) $\vec{AB}$;

2) $\vec{CD_1}$;

3) $\vec{AC_1}$, началом и концом каждого из которых являются вершины параллелепипеда.

45. Дан параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Укажите все векторы, противоположные вектору:

1) $\vec{AB}$;

2) $\vec{CD_1}$;

3) $\vec{AC_1}$, началом и концом каждого из которых являются вершины параллелепипеда.

Два вектора называются противоположными, если они имеют равные модули (длины) и противоположно направлены. Вектор, противоположный вектору $\vec{a}$, обозначается как $-\vec{a}$. Если вектор задан начальной и конечной точками, например $\overrightarrow{PQ}$, то противоположный ему вектор будет $\overrightarrow{QP}$, то есть $-\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{QP}$.
Чтобы найти все векторы, противоположные данному вектору $\vec{v}$, нужно найти все векторы, равные $\vec{v}$, и затем для каждого из них найти противоположный. В параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ грани являются параллелограммами, поэтому векторы, соответствующие параллельным и одинаково направленным ребрам, равны.

1) $\overrightarrow{AB}$
Вектор $\overrightarrow{AB}$ соответствует ребру параллелепипеда. Найдем все векторы, равные вектору $\overrightarrow{AB}$. Так как грани параллелепипеда — параллелограммы, то рёбра, параллельные $AB$ и равные ему по длине, это $DC$, $A_1B_1$ и $D_1C_1$. Векторы, сонаправленные с $\overrightarrow{AB}$, будут:
$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{A_1B_1} = \overrightarrow{D_1C_1}$.
Противоположными вектору $\overrightarrow{AB}$ будут векторы, противоположные каждому из этих равных векторов. Для этого нужно поменять местами начало и конец каждого вектора:
$-\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BA}$
$-\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{CD}$
$-\overrightarrow{A_1B_1} = \overrightarrow{B_1A_1}$
$-\overrightarrow{D_1C_1} = \overrightarrow{C_1D_1}$
Следовательно, все искомые векторы — это $\overrightarrow{BA}$, $\overrightarrow{CD}$, $\overrightarrow{B_1A_1}$ и $\overrightarrow{C_1D_1}$.
Ответ: $\overrightarrow{BA}, \overrightarrow{CD}, \overrightarrow{B_1A_1}, \overrightarrow{C_1D_1}$.

2) $\overrightarrow{CD_1}$
Вектор $\overrightarrow{CD_1}$ является диагональю боковой грани $DCC_1D_1$. В параллелепипеде есть параллельная ей грань $ABB_1A_1$. Вектор, соединяющий соответствующие вершины в этой грани, будет равен вектору $\overrightarrow{CD_1}$. Вершине $C$ соответствует вершина $B$, а вершине $D_1$ — вершина $A_1$. Таким образом, $\overrightarrow{CD_1} = \overrightarrow{BA_1}$.
Это можно доказать и через сложение векторов:
$\overrightarrow{CD_1} = \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DD_1}$
$\overrightarrow{BA_1} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AA_1}$
По свойствам параллелепипеда $\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{BA}$ и $\overrightarrow{DD_1} = \overrightarrow{AA_1}$, следовательно, равенство $\overrightarrow{CD_1} = \overrightarrow{BA_1}$ верно.
Теперь найдем векторы, противоположные $\overrightarrow{CD_1}$ и $\overrightarrow{BA_1}$:
$-\overrightarrow{CD_1} = \overrightarrow{D_1C}$
$-\overrightarrow{BA_1} = \overrightarrow{A_1B}$
Таким образом, искомые векторы — это $\overrightarrow{D_1C}$ и $\overrightarrow{A_1B}$.
Ответ: $\overrightarrow{D_1C}, \overrightarrow{A_1B}$.

3) $\overrightarrow{AC_1}$
Вектор $\overrightarrow{AC_1}$ является пространственной (главной) диагональю параллелепипеда. Противоположным ему вектором является вектор $\overrightarrow{C_1A}$.
Выясним, существуют ли другие векторы с началом и концом в вершинах параллелепипеда, равные вектору $\overrightarrow{AC_1}$. По правилу параллелепипеда:
$\overrightarrow{AC_1} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA_1}$.
Никакая другая пара вершин не может образовать вектор, равный этой сумме. Например, вектор другой главной диагонали $\overrightarrow{BD_1}$ равен:
$\overrightarrow{BD_1} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA_1} = -\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA_1}$.
Очевидно, что $\overrightarrow{AC_1} \neq \overrightarrow{BD_1}$. Аналогично можно показать, что и другие векторы, соединяющие вершины, не равны $\overrightarrow{AC_1}$.
Следовательно, существует только один вектор, противоположный вектору $\overrightarrow{AC_1}$.
Ответ: $\overrightarrow{C_1A}$.

46. Укажите координаты вектора, противоположного вектору $\vec{a} (15; 5; -8)$.

46. Укажите координаты вектора, противоположного вектору $\vec{a} (15; 5; -8)$.

Противоположным вектором для вектора $\vec{a} = (x; y; z)$ является вектор $-\vec{a}$, координаты которого равны координатам исходного вектора, взятым с противоположным знаком: $-\vec{a} = (-x; -y; -z)$.

Дан вектор $\vec{a}$ с координатами $(15; 5; -8)$.

Найдем координаты противоположного ему вектора, изменив знак каждой координаты:
Первая координата: $-15$
Вторая координата: $-5$
Третья координата: $-(-8) = 8$

Следовательно, искомый вектор имеет координаты $(-15; -5; 8)$.

Ответ: $(-15; -5; 8)$

47. Упростите выражение:

1) $\vec{AB} + \vec{MN} + \vec{BC} + \vec{NE} + \vec{CA} + \vec{EF};$

2) $\vec{AC} + \vec{BK} - \vec{MT} - \vec{AM} - \vec{BC}.$

47. Упростите выражение:

1) $\vec{AB} + \vec{MN} + \vec{BC} + \vec{NE} + \vec{CA} + \vec{EF};$

2) $\vec{AC} + \vec{BK} - \vec{MT} - \vec{AM} - \vec{BC}.$

1) Для упрощения выражения $\vec{AB} + \vec{MN} + \vec{BC} + \vec{NE} + \vec{CA} + \vec{EF}$ воспользуемся правилами сложения векторов, в частности правилом треугольника (правилом Шаля): $\vec{XY} + \vec{YZ} = \vec{XZ}$. Перегруппируем слагаемые, чтобы можно было последовательно применить это правило.

Сгруппируем векторы, содержащие точки A, B, C, и отдельно векторы с точками M, N, E, F:

$(\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CA}) + (\vec{MN} + \vec{NE} + \vec{EF})$

Рассмотрим первую группу $(\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CA})$:

По правилу треугольника, $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$.

Тогда сумма в скобках становится $\vec{AC} + \vec{CA}$.

Сумма противоположных векторов $\vec{AC}$ и $\vec{CA}$ равна нулевому вектору: $\vec{AC} + \vec{CA} = \vec{AA} = \vec{0}$.

Рассмотрим вторую группу $(\vec{MN} + \vec{NE} + \vec{EF})$:

По правилу треугольника, $\vec{MN} + \vec{NE} = \vec{ME}$.

Тогда сумма в скобках становится $\vec{ME} + \vec{EF}$.

Еще раз применяя правило треугольника, получаем: $\vec{ME} + \vec{EF} = \vec{MF}$.

Теперь сложим результаты, полученные для каждой группы:

$\vec{0} + \vec{MF} = \vec{MF}$

Ответ: $\vec{MF}$

2) Для упрощения выражения $\vec{AC} + \vec{BK} - \vec{MT} - \vec{AM} - \vec{BC}$ воспользуемся правилом, что вычитание вектора эквивалентно прибавлению противоположного ему вектора: $-\vec{XY} = \vec{YX}$.

Перепишем выражение, заменяя вычитание на сложение:

$\vec{AC} + \vec{BK} - \vec{MT} - \vec{AM} - \vec{BC} = \vec{AC} + \vec{BK} + \vec{TM} + \vec{MA} + \vec{CB}$

Теперь перегруппируем слагаемые, используя коммутативный (переместительный) закон сложения, чтобы последовательно применять правило треугольника:

$\vec{MA} + \vec{AC} + \vec{CB} + \vec{BK} + \vec{TM}$

Начнем сложение по порядку:

$\vec{MA} + \vec{AC} = \vec{MC}$

Теперь выражение выглядит так: $\vec{MC} + \vec{CB} + \vec{BK} + \vec{TM}$.

Далее, $\vec{MC} + \vec{CB} = \vec{MB}$.

Выражение упрощается до: $\vec{MB} + \vec{BK} + \vec{TM}$.

Следующий шаг: $\vec{MB} + \vec{BK} = \vec{MK}$.

Остается: $\vec{MK} + \vec{TM}$.

Для наглядности поменяем слагаемые местами: $\vec{TM} + \vec{MK}$.

Применяя правило треугольника в последний раз, получаем:

$\vec{TM} + \vec{MK} = \vec{TK}$

Ответ: $\vec{TK}$

48. Дан параллелепипед $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$. Найдите сумму векторов $\vec{DA} + \vec{DC} + \vec{B_1 D_1} + \vec{BA} + \vec{A_1 C_1}$.

48. Дан параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Найдите сумму

векторов $\vec{DA} + \vec{DC} + \vec{B_1D_1} + \vec{BA} + \vec{A_1C_1}$.

Для того чтобы найти сумму векторов $\vec{DA} + \vec{DC} + \vec{B_1D_1} + \vec{BA} + \vec{A_1C_1}$, воспользуемся свойствами векторов в параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

В параллелограмме $ABCD$, который является основанием параллелепипеда, противоположные стороны параллельны и равны по длине, поэтому векторы, построенные на них, связаны соотношением $\vec{BA} = \vec{CD}$. Заменим в исходном выражении вектор $\vec{BA}$ на равный ему вектор $\vec{CD}$:

$\vec{DA} + \vec{DC} + \vec{B_1D_1} + \vec{BA} + \vec{A_1C_1} = \vec{DA} + \vec{DC} + \vec{B_1D_1} + \vec{CD} + \vec{A_1C_1}$

Перегруппируем слагаемые, чтобы сложить векторы $\vec{DC}$ и $\vec{CD}$. Эти векторы являются противоположными (коллинеарны, равны по модулю и противоположно направлены), поэтому их сумма равна нулевому вектору:

$\vec{DC} + \vec{CD} = \vec{DD} = \vec{0}$

Подставив это в выражение, получим:

$\vec{DA} + (\vec{DC} + \vec{CD}) + \vec{B_1D_1} + \vec{A_1C_1} = \vec{DA} + \vec{0} + \vec{B_1D_1} + \vec{A_1C_1} = \vec{DA} + \vec{B_1D_1} + \vec{A_1C_1}$

В параллелепипеде противоположные грани равны и параллельны. Это означает, что векторы, построенные на соответственных диагоналях этих граней, равны. Таким образом, для диагоналей верхнего ($A_1B_1C_1D_1$) и нижнего ($ABCD$) оснований имеем:

$\vec{B_1D_1} = \vec{BD}$

$\vec{A_1C_1} = \vec{AC}$

Произведем замену в нашем выражении:

$\vec{DA} + \vec{BD} + \vec{AC}$

Теперь воспользуемся правилом треугольника для сложения векторов (также известным как правило Шаля). Для первых двух векторов, где конец первого вектора совпадает с началом второго:

$\vec{DA} + \vec{BD} = \vec{BA}$

Выражение упрощается до:

$\vec{BA} + \vec{AC}$

Применив правило треугольника еще раз, получаем окончательный результат:

$\vec{BA} + \vec{AC} = \vec{BC}$

Таким образом, искомая сумма векторов равна $\vec{BC}$.

Ответ: $\vec{BC}$

49. Основанием пирамиды MABCD является прямоугольник ABCD, AB = 6 см, AD = 8 см. Найдите модуль вектора $ \vec{a} = \overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MD} + \overrightarrow{DC} $.

49. Основанием пирамиды $MABCD$ является прямоугольник $ABCD$, $AB = 6 \text{ см}$, $AD = 8 \text{ см}$. Найдите модуль вектора $\vec{a} = \overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MD} + \overrightarrow{DC}$.

Для нахождения модуля вектора $\vec{a} = \vec{MA} - \vec{MD} + \vec{DC}$ сначала упростим данное векторное выражение.

Воспользуемся правилом вычитания векторов: разность двух векторов, имеющих общее начало, представляет собой вектор, направленный от конца вычитаемого к концу уменьшаемого. Таким образом, разность $\vec{MA} - \vec{MD}$ равна вектору $\vec{DA}$.
$\vec{MA} - \vec{MD} = \vec{DA}$

Теперь подставим полученное выражение в исходную формулу для вектора $\vec{a}$:
$\vec{a} = \vec{DA} + \vec{DC}$

Вектор $\vec{a}$ является суммой векторов $\vec{DA}$ и $\vec{DC}$. По условию, основание пирамиды ABCD является прямоугольником. Векторы $\vec{DA}$ и $\vec{DC}$ соответствуют смежным сторонам этого прямоугольника, выходящим из одной вершины D. Согласно правилу параллелограмма для сложения векторов, их сумма равна вектору диагонали, исходящему из той же вершины, то есть вектору $\vec{DB}$.
$\vec{a} = \vec{DA} + \vec{DC} = \vec{DB}$

Модуль вектора $\vec{a}$ равен его длине, которая соответствует длине диагонали DB прямоугольника ABCD.
$|\vec{a}| = |\vec{DB}| = DB$

Длину диагонали DB найдем по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника $\triangle DAB$, в котором катетами являются стороны прямоугольника $AD$ и $AB$, а гипотенузой — диагональ $DB$.
$DB^2 = AD^2 + AB^2$
Подставим известные значения длин сторон: $AD = 8$ см и $AB = 6$ см.
$DB^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100$
$DB = \sqrt{100} = 10$ см.

Следовательно, модуль искомого вектора равен 10.

Ответ: 10.

50. Дан параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Выразите вектор $\vec{C_1C}$ через векторы $\vec{DA_1}$, $\vec{DB_1}$ и $\vec{DC_1}$.

50. Дан параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Выразите вектор $\vec{C_1C}$ через векторы $\vec{DA_1}$, $\vec{DB_1}$ и $\vec{DC_1}$.

Для решения задачи представим искомый вектор $\vec{C_1C}$ в виде суммы других векторов, которые можно выразить через заданные векторы $\vec{DA_1}$, $\vec{DB_1}$ и $\vec{DC_1}$.

Воспользуемся правилом сложения векторов (правилом многоугольника), чтобы разложить вектор $\vec{C_1C}$. Удобно использовать точку D в качестве промежуточной, так как все заданные векторы исходят из нее: $\vec{C_1C} = \vec{C_1D} + \vec{DC}$.

Теперь выразим каждый из векторов в правой части равенства через заданные.

1. Вектор $\vec{C_1D}$ является противоположным заданному вектору $\vec{DC_1}$, поэтому: $\vec{C_1D} = -\vec{DC_1}$.

2. Для того чтобы выразить вектор $\vec{DC}$, рассмотрим разность двух других заданных векторов: $\vec{DB_1}$ и $\vec{DA_1}$. По правилу вычитания векторов, исходящих из одной точки: $\vec{DB_1} - \vec{DA_1} = \vec{A_1B_1}$.

Поскольку $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — параллелепипед, его противоположные грани являются равными и параллельными параллелограммами. В частности, $A_1B_1C_1D_1$ и $ABCD$ — равные и параллельные параллелограммы. Следовательно, векторы, определяющие их соответствующие стороны, равны: $\vec{A_1B_1} = \vec{DC}$.

Таким образом, мы получили выражение для $\vec{DC}$ через заданные векторы: $\vec{DC} = \vec{DB_1} - \vec{DA_1}$.

Теперь подставим полученные выражения для $\vec{C_1D}$ и $\vec{DC}$ в исходную формулу для $\vec{C_1C}$: $\vec{C_1C} = \vec{C_1D} + \vec{DC} = (-\vec{DC_1}) + (\vec{DB_1} - \vec{DA_1})$.

Перегруппировав слагаемые, получим окончательное выражение: $\vec{C_1C} = \vec{DB_1} - \vec{DA_1} - \vec{DC_1}$.

Ответ: $\vec{C_1C} = \vec{DB_1} - \vec{DA_1} - \vec{DC_1}$.