Номер 43, страница 8 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

43. Найдите координаты точки B такой, что $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{0}$, если $A (-1; 9; -3)$, $C (2; 11; -7)$.

43. Найдите координаты точки B такой, что $\vec{AB} - \vec{BC} = \vec{0}$, если $A (-1; 9; -3)$, $C (2; 11; -7)$.

По условию задачи дано векторное уравнение $\vec{AB} - \vec{BC} = \vec{0}$.
Это уравнение можно переписать в виде $\vec{AB} = \vec{BC}$.
Равенство векторов означает, что их соответствующие координаты равны. Это также геометрически означает, что точка B является серединой отрезка AC.
Найдем координаты точки B двумя способами.

Способ 1: Через координаты векторов
Пусть искомая точка $B$ имеет координаты $(x; y; z)$.
Координаты вектора находятся как разность соответствующих координат его конца и начала.
Найдем координаты вектора $\vec{AB}$, зная координаты точки $A(-1; 9; -3)$:
$\vec{AB} = \{x - (-1); y - 9; z - (-3)\} = \{x + 1; y - 9; z + 3\}$.
Найдем координаты вектора $\vec{BC}$, зная координаты точки $C(2; 11; -7)$:
$\vec{BC} = \{2 - x; 11 - y; -7 - z\}$.
Так как $\vec{AB} = \vec{BC}$, приравняем их соответствующие координаты и получим систему уравнений:
$x + 1 = 2 - x$
$y - 9 = 11 - y$
$z + 3 = -7 - z$
Теперь решим каждое уравнение:
$x + x = 2 - 1 \implies 2x = 1 \implies x = 0,5$
$y + y = 11 + 9 \implies 2y = 20 \implies y = 10$
$z + z = -7 - 3 \implies 2z = -10 \implies z = -5$
Таким образом, координаты точки $B$ равны $(0,5; 10; -5)$.

Способ 2: Через формулу середины отрезка
Как было отмечено, условие $\vec{AB} = \vec{BC}$ означает, что точка $B$ является серединой отрезка $AC$.
Координаты середины отрезка вычисляются как среднее арифметическое координат его концов.
$x_B = \frac{x_A + x_C}{2} = \frac{-1 + 2}{2} = \frac{1}{2} = 0,5$
$y_B = \frac{y_A + y_C}{2} = \frac{9 + 11}{2} = \frac{20}{2} = 10$
$z_B = \frac{z_A + z_C}{2} = \frac{-3 + (-7)}{2} = \frac{-10}{2} = -5$
Координаты точки $B$, полученные вторым способом, совпадают с результатом первого способа.

Ответ: $B(0,5; 10; -5)$.