Номер 37, страница 7 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

37. Дана призма $ABCA_1B_1C_1$ (рис. 4). Найдите сумму векторов:

1) $\vec{AB} + \vec{CC_1}$;

2) $\vec{C_1A} + \vec{BB_1}$.

Рис. 4

37. Дана призма $ABCA_1B_1C_1$ (рис. 4). Найдите сумму векторов:

1) $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CC_1}$;

2) $\overrightarrow{C_1A} + \overrightarrow{BB_1}$.

Рис. 4

1)

Для нахождения суммы векторов $\vec{AB} + \vec{CC_1}$ воспользуемся свойствами призмы. В призме $ABCA_1B_1C_1$ боковые ребра параллельны и равны, следовательно, векторы, соответствующие этим ребрам, равны между собой: $\vec{AA_1} = \vec{BB_1} = \vec{CC_1}$.

Заменим в исходном выражении вектор $\vec{CC_1}$ на равный ему вектор $\vec{BB_1}$:

$\vec{AB} + \vec{CC_1} = \vec{AB} + \vec{BB_1}$

Теперь мы можем применить правило треугольника для сложения векторов. Суммой векторов $\vec{AB}$ и $\vec{BB_1}$, отложенных последовательно (конец первого вектора совпадает с началом второго), является вектор, проведенный из начала первого вектора (точка А) в конец второго вектора (точка B₁).

Таким образом, $\vec{AB} + \vec{BB_1} = \vec{AB_1}$.

Ответ: $\vec{AB_1}$

2)

Для нахождения суммы векторов $\vec{C_1A} + \vec{BB_1}$ также используем равенство векторов боковых ребер: $\vec{BB_1} = \vec{AA_1}$.

Подставим равный вектор в искомую сумму:

$\vec{C_1A} + \vec{BB_1} = \vec{C_1A} + \vec{AA_1}$

Применим правило треугольника (правило Шаля) для сложения векторов. Сумма векторов, где конец одного совпадает с началом другого, равна вектору, соединяющему начало первого и конец второго. В нашем случае:

$\vec{C_1A} + \vec{AA_1} = \vec{C_1A_1}$

Также стоит отметить, что боковая грань $CAA_1C_1$ является параллелограммом, поэтому противоположные стороны равны и параллельны, а значит, соответствующие им векторы равны: $\vec{C_1A_1} = \vec{CA}$. Таким образом, ответ можно записать и как $\vec{CA}$.

Ответ: $\vec{C_1A_1}$ (или $\vec{CA}$)