Номер 34, страница 7 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

34. Модуль вектора $\vec{p} (x; y; z)$ равен 6, его координаты $x$ и $z$ равны, а координаты $y$ и $z$ — противоположные числа. Найдите координаты вектора $\vec{p}$.

34. Модуль вектора $\vec{p} (x; y; z)$ равен 6, его координаты $x$ и $z$ равны, а координаты $y$ и $z$ — противоположные числа. Найдите координаты вектора $\vec{p}$.

Пусть вектор $\vec{p}$ имеет координаты $(x; y; z)$.

Модуль вектора (его длина) вычисляется по формуле: $|\vec{p}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.

По условию задачи, модуль вектора равен 6, следовательно: $\sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = 6$.

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня: $x^2 + y^2 + z^2 = 6^2$
$x^2 + y^2 + z^2 = 36$.

Из условия также известно о соотношениях между координатами: 1. Координаты $x$ и $z$ равны, то есть $x = z$. 2. Координаты $y$ и $z$ — противоположные числа, то есть $y = -z$.

Подставим эти соотношения в уравнение для модуля вектора, выразив $x$ и $y$ через $z$: $(z)^2 + (-z)^2 + z^2 = 36$.

Упростим и решим полученное уравнение: $z^2 + z^2 + z^2 = 36$
$3z^2 = 36$.

Найдем $z^2$: $z^2 = \frac{36}{3}$
$z^2 = 12$.

Теперь найдем $z$: $z = \pm\sqrt{12}$.

Упростим значение корня: $\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$. Таким образом, мы получаем два возможных значения для $z$: $z_1 = 2\sqrt{3}$ и $z_2 = -2\sqrt{3}$.

Для каждого значения $z$ найдем соответствующие значения $x$ и $y$.

Случай 1: Если $z = 2\sqrt{3}$.
Тогда $x = z = 2\sqrt{3}$.
И $y = -z = -2\sqrt{3}$.
Координаты вектора $\vec{p}$ в этом случае: $(2\sqrt{3}; -2\sqrt{3}; 2\sqrt{3})$.

Случай 2: Если $z = -2\sqrt{3}$.
Тогда $x = z = -2\sqrt{3}$.
И $y = -z = -(-2\sqrt{3}) = 2\sqrt{3}$.
Координаты вектора $\vec{p}$ в этом случае: $(-2\sqrt{3}; 2\sqrt{3}; -2\sqrt{3})$.

Ответ: $(2\sqrt{3}; -2\sqrt{3}; 2\sqrt{3})$ или $(-2\sqrt{3}; 2\sqrt{3}; -2\sqrt{3})$.