Номер 41, страница 8 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

41. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Найдите разность векторов:

1) $\vec{B_1A}$ и $\vec{A_1D_1}$;

2) $\vec{A_1C}$ и $\vec{D_1D}$.

41. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Найдите разность векторов:

1) $\vec{B_1A}$ и $\vec{A_1D_1}$;

2) $\vec{A_1C}$ и $\vec{D_1D}$.

1) $\vec{B_1A}$ и $\vec{A_1D_1}$

Чтобы найти разность векторов $\vec{B_1A} - \vec{A_1D_1}$, воспользуемся свойствами векторов в кубе. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ векторы, соответствующие параллельным и одинаково направленным ребрам, равны. Вектор $\vec{A_1D_1}$ равен вектору $\vec{B_1C_1}$, так как отрезки $A_1D_1$ и $B_1C_1$ параллельны, равны по длине и сонаправлены.

Заменим в исходном выражении вектор $\vec{A_1D_1}$ на равный ему вектор $\vec{B_1C_1}$:

$\vec{B_1A} - \vec{A_1D_1} = \vec{B_1A} - \vec{B_1C_1}$

Разность двух векторов, выходящих из одной точки (в данном случае из точки $B_1$), есть вектор, соединяющий конец вычитаемого вектора (точка $C_1$) с концом уменьшаемого вектора (точка $A$). Таким образом:

$\vec{B_1A} - \vec{B_1C_1} = \vec{C_1A}$

Другой способ — это сложение с противоположным вектором:

$\vec{B_1A} - \vec{B_1C_1} = \vec{B_1A} + (-\vec{B_1C_1}) = \vec{B_1A} + \vec{C_1B_1} = \vec{C_1B_1} + \vec{B_1A} = \vec{C_1A}$

Ответ: $\vec{C_1A}$.

2) $\vec{A_1C}$ и $\vec{D_1D}$

Найдем разность векторов $\vec{A_1C} - \vec{D_1D}$. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ вектор $\vec{D_1D}$ равен вектору $\vec{A_1A}$, так как ребра $D_1D$ и $A_1A$ параллельны, равны по длине и сонаправлены.

Заменим вектор $\vec{D_1D}$ на равный ему вектор $\vec{A_1A}$:

$\vec{A_1C} - \vec{D_1D} = \vec{A_1C} - \vec{A_1A}$

Применяя правило вычитания векторов, выходящих из одной точки (в данном случае из точки $A_1$), получаем вектор, который начинается в конце вычитаемого вектора (точка $A$) и заканчивается в конце уменьшаемого вектора (точка $C$):

$\vec{A_1C} - \vec{A_1A} = \vec{AC}$

Используя сложение с противоположным вектором:

$\vec{A_1C} - \vec{A_1A} = \vec{A_1C} + (-\vec{A_1A}) = \vec{A_1C} + \vec{AA_1} = \vec{AA_1} + \vec{A_1C} = \vec{AC}$

Ответ: $\vec{AC}$.