Номер 44, страница 8 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

44. Даны векторы $\vec{b}$ (3; -5; -1), $\vec{c}$ (x; -8; 2) и $\vec{d}$ (-4; 4; 5).

Какое наименьшее значение принимает модуль вектора $\vec{b} - \vec{c} + \vec{d}$?

44. Даны векторы $\vec{b}$ (3; -5; -1), $\vec{c}$ (x; -8; 2) и $\vec{d}$ (-4; 4; 5).

Какое наименьшее значение принимает модуль вектора $\vec{b} - \vec{c} + \vec{d}$?

Чтобы найти наименьшее значение модуля вектора $\vec{b} - \vec{c} + \vec{d}$, сначала определим координаты этого вектора. Пусть $\vec{a} = \vec{b} - \vec{c} + \vec{d}$.

Координаты вектора $\vec{a}$ вычисляются путем выполнения соответствующих арифметических операций над координатами данных векторов:

$\vec{a} = (3 - x + (-4); \quad -5 - (-8) + 4; \quad -1 - 2 + 5)$

$\vec{a} = (3 - x - 4; \quad -5 + 8 + 4; \quad -1 - 2 + 5)$

$\vec{a} = (-1 - x; \quad 7; \quad 2)$

Далее найдем модуль (длину) вектора $\vec{a}$. Модуль вектора с координатами $(a_x, a_y, a_z)$ вычисляется по формуле $|\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}$.

Подставим координаты вектора $\vec{a}$:

$|\vec{a}| = |\vec{b} - \vec{c} + \vec{d}| = \sqrt{(-1 - x)^2 + 7^2 + 2^2}$

$|\vec{a}| = \sqrt{(-(1 + x))^2 + 49 + 4}$

$|\vec{a}| = \sqrt{(1 + x)^2 + 53}$

Для нахождения наименьшего значения модуля необходимо найти наименьшее значение выражения $\sqrt{(1 + x)^2 + 53}$. Так как функция квадратного корня является монотонно возрастающей, ее наименьшее значение достигается при наименьшем значении подкоренного выражения.

Рассмотрим подкоренное выражение: $(1 + x)^2 + 53$. Слагаемое $(1 + x)^2$ представляет собой квадрат действительного числа, поэтому его значение всегда неотрицательно: $(1 + x)^2 \ge 0$. Наименьшее значение этого слагаемого равно 0 и достигается при условии $1 + x = 0$, то есть при $x = -1$.

Следовательно, наименьшее значение всего подкоренного выражения равно $0 + 53 = 53$.

Таким образом, наименьшее значение модуля вектора $\vec{b} - \vec{c} + \vec{d}$ равно корню из этого значения:

$|\vec{a}|_{min} = \sqrt{53}$

Ответ: $\sqrt{53}$