Номер 49, страница 8 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

49. Основанием пирамиды MABCD является прямоугольник ABCD, AB = 6 см, AD = 8 см. Найдите модуль вектора $ \vec{a} = \overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MD} + \overrightarrow{DC} $.

49. Основанием пирамиды $MABCD$ является прямоугольник $ABCD$, $AB = 6 \text{ см}$, $AD = 8 \text{ см}$. Найдите модуль вектора $\vec{a} = \overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MD} + \overrightarrow{DC}$.

Для нахождения модуля вектора $\vec{a} = \vec{MA} - \vec{MD} + \vec{DC}$ сначала упростим данное векторное выражение.

Воспользуемся правилом вычитания векторов: разность двух векторов, имеющих общее начало, представляет собой вектор, направленный от конца вычитаемого к концу уменьшаемого. Таким образом, разность $\vec{MA} - \vec{MD}$ равна вектору $\vec{DA}$.
$\vec{MA} - \vec{MD} = \vec{DA}$

Теперь подставим полученное выражение в исходную формулу для вектора $\vec{a}$:
$\vec{a} = \vec{DA} + \vec{DC}$

Вектор $\vec{a}$ является суммой векторов $\vec{DA}$ и $\vec{DC}$. По условию, основание пирамиды ABCD является прямоугольником. Векторы $\vec{DA}$ и $\vec{DC}$ соответствуют смежным сторонам этого прямоугольника, выходящим из одной вершины D. Согласно правилу параллелограмма для сложения векторов, их сумма равна вектору диагонали, исходящему из той же вершины, то есть вектору $\vec{DB}$.
$\vec{a} = \vec{DA} + \vec{DC} = \vec{DB}$

Модуль вектора $\vec{a}$ равен его длине, которая соответствует длине диагонали DB прямоугольника ABCD.
$|\vec{a}| = |\vec{DB}| = DB$

Длину диагонали DB найдем по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника $\triangle DAB$, в котором катетами являются стороны прямоугольника $AD$ и $AB$, а гипотенузой — диагональ $DB$.
$DB^2 = AD^2 + AB^2$
Подставим известные значения длин сторон: $AD = 8$ см и $AB = 6$ см.
$DB^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100$
$DB = \sqrt{100} = 10$ см.

Следовательно, модуль искомого вектора равен 10.

Ответ: 10.