Номер 47, страница 8 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

47. Упростите выражение:

1) $\vec{AB} + \vec{MN} + \vec{BC} + \vec{NE} + \vec{CA} + \vec{EF};$

2) $\vec{AC} + \vec{BK} - \vec{MT} - \vec{AM} - \vec{BC}.$

47. Упростите выражение:

1) $\vec{AB} + \vec{MN} + \vec{BC} + \vec{NE} + \vec{CA} + \vec{EF};$

2) $\vec{AC} + \vec{BK} - \vec{MT} - \vec{AM} - \vec{BC}.$

1) Для упрощения выражения $\vec{AB} + \vec{MN} + \vec{BC} + \vec{NE} + \vec{CA} + \vec{EF}$ воспользуемся правилами сложения векторов, в частности правилом треугольника (правилом Шаля): $\vec{XY} + \vec{YZ} = \vec{XZ}$. Перегруппируем слагаемые, чтобы можно было последовательно применить это правило.

Сгруппируем векторы, содержащие точки A, B, C, и отдельно векторы с точками M, N, E, F:

$(\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CA}) + (\vec{MN} + \vec{NE} + \vec{EF})$

Рассмотрим первую группу $(\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CA})$:

По правилу треугольника, $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$.

Тогда сумма в скобках становится $\vec{AC} + \vec{CA}$.

Сумма противоположных векторов $\vec{AC}$ и $\vec{CA}$ равна нулевому вектору: $\vec{AC} + \vec{CA} = \vec{AA} = \vec{0}$.

Рассмотрим вторую группу $(\vec{MN} + \vec{NE} + \vec{EF})$:

По правилу треугольника, $\vec{MN} + \vec{NE} = \vec{ME}$.

Тогда сумма в скобках становится $\vec{ME} + \vec{EF}$.

Еще раз применяя правило треугольника, получаем: $\vec{ME} + \vec{EF} = \vec{MF}$.

Теперь сложим результаты, полученные для каждой группы:

$\vec{0} + \vec{MF} = \vec{MF}$

Ответ: $\vec{MF}$

2) Для упрощения выражения $\vec{AC} + \vec{BK} - \vec{MT} - \vec{AM} - \vec{BC}$ воспользуемся правилом, что вычитание вектора эквивалентно прибавлению противоположного ему вектора: $-\vec{XY} = \vec{YX}$.

Перепишем выражение, заменяя вычитание на сложение:

$\vec{AC} + \vec{BK} - \vec{MT} - \vec{AM} - \vec{BC} = \vec{AC} + \vec{BK} + \vec{TM} + \vec{MA} + \vec{CB}$

Теперь перегруппируем слагаемые, используя коммутативный (переместительный) закон сложения, чтобы последовательно применять правило треугольника:

$\vec{MA} + \vec{AC} + \vec{CB} + \vec{BK} + \vec{TM}$

Начнем сложение по порядку:

$\vec{MA} + \vec{AC} = \vec{MC}$

Теперь выражение выглядит так: $\vec{MC} + \vec{CB} + \vec{BK} + \vec{TM}$.

Далее, $\vec{MC} + \vec{CB} = \vec{MB}$.

Выражение упрощается до: $\vec{MB} + \vec{BK} + \vec{TM}$.

Следующий шаг: $\vec{MB} + \vec{BK} = \vec{MK}$.

Остается: $\vec{MK} + \vec{TM}$.

Для наглядности поменяем слагаемые местами: $\vec{TM} + \vec{MK}$.

Применяя правило треугольника в последний раз, получаем:

$\vec{TM} + \vec{MK} = \vec{TK}$

Ответ: $\vec{TK}$