Номер 45, страница 8 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

45. Дан параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Укажите все векторы, противоположные вектору:

1) $\vec{AB}$;

2) $\vec{CD_1}$;

3) $\vec{AC_1}$, началом и концом каждого из которых являются вершины параллелепипеда.

45. Дан параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Укажите все векторы, противоположные вектору:

1) $\vec{AB}$;

2) $\vec{CD_1}$;

3) $\vec{AC_1}$, началом и концом каждого из которых являются вершины параллелепипеда.

Два вектора называются противоположными, если они имеют равные модули (длины) и противоположно направлены. Вектор, противоположный вектору $\vec{a}$, обозначается как $-\vec{a}$. Если вектор задан начальной и конечной точками, например $\overrightarrow{PQ}$, то противоположный ему вектор будет $\overrightarrow{QP}$, то есть $-\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{QP}$.
Чтобы найти все векторы, противоположные данному вектору $\vec{v}$, нужно найти все векторы, равные $\vec{v}$, и затем для каждого из них найти противоположный. В параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ грани являются параллелограммами, поэтому векторы, соответствующие параллельным и одинаково направленным ребрам, равны.

1) $\overrightarrow{AB}$
Вектор $\overrightarrow{AB}$ соответствует ребру параллелепипеда. Найдем все векторы, равные вектору $\overrightarrow{AB}$. Так как грани параллелепипеда — параллелограммы, то рёбра, параллельные $AB$ и равные ему по длине, это $DC$, $A_1B_1$ и $D_1C_1$. Векторы, сонаправленные с $\overrightarrow{AB}$, будут:
$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{A_1B_1} = \overrightarrow{D_1C_1}$.
Противоположными вектору $\overrightarrow{AB}$ будут векторы, противоположные каждому из этих равных векторов. Для этого нужно поменять местами начало и конец каждого вектора:
$-\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BA}$
$-\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{CD}$
$-\overrightarrow{A_1B_1} = \overrightarrow{B_1A_1}$
$-\overrightarrow{D_1C_1} = \overrightarrow{C_1D_1}$
Следовательно, все искомые векторы — это $\overrightarrow{BA}$, $\overrightarrow{CD}$, $\overrightarrow{B_1A_1}$ и $\overrightarrow{C_1D_1}$.
Ответ: $\overrightarrow{BA}, \overrightarrow{CD}, \overrightarrow{B_1A_1}, \overrightarrow{C_1D_1}$.

2) $\overrightarrow{CD_1}$
Вектор $\overrightarrow{CD_1}$ является диагональю боковой грани $DCC_1D_1$. В параллелепипеде есть параллельная ей грань $ABB_1A_1$. Вектор, соединяющий соответствующие вершины в этой грани, будет равен вектору $\overrightarrow{CD_1}$. Вершине $C$ соответствует вершина $B$, а вершине $D_1$ — вершина $A_1$. Таким образом, $\overrightarrow{CD_1} = \overrightarrow{BA_1}$.
Это можно доказать и через сложение векторов:
$\overrightarrow{CD_1} = \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DD_1}$
$\overrightarrow{BA_1} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AA_1}$
По свойствам параллелепипеда $\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{BA}$ и $\overrightarrow{DD_1} = \overrightarrow{AA_1}$, следовательно, равенство $\overrightarrow{CD_1} = \overrightarrow{BA_1}$ верно.
Теперь найдем векторы, противоположные $\overrightarrow{CD_1}$ и $\overrightarrow{BA_1}$:
$-\overrightarrow{CD_1} = \overrightarrow{D_1C}$
$-\overrightarrow{BA_1} = \overrightarrow{A_1B}$
Таким образом, искомые векторы — это $\overrightarrow{D_1C}$ и $\overrightarrow{A_1B}$.
Ответ: $\overrightarrow{D_1C}, \overrightarrow{A_1B}$.

3) $\overrightarrow{AC_1}$
Вектор $\overrightarrow{AC_1}$ является пространственной (главной) диагональю параллелепипеда. Противоположным ему вектором является вектор $\overrightarrow{C_1A}$.
Выясним, существуют ли другие векторы с началом и концом в вершинах параллелепипеда, равные вектору $\overrightarrow{AC_1}$. По правилу параллелепипеда:
$\overrightarrow{AC_1} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA_1}$.
Никакая другая пара вершин не может образовать вектор, равный этой сумме. Например, вектор другой главной диагонали $\overrightarrow{BD_1}$ равен:
$\overrightarrow{BD_1} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA_1} = -\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA_1}$.
Очевидно, что $\overrightarrow{AC_1} \neq \overrightarrow{BD_1}$. Аналогично можно показать, что и другие векторы, соединяющие вершины, не равны $\overrightarrow{AC_1}$.
Следовательно, существует только один вектор, противоположный вектору $\overrightarrow{AC_1}$.
Ответ: $\overrightarrow{C_1A}$.