Номер 39, страница 8 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

39. Может ли быть нулевым вектором сумма трёх векторов, модули которых равны:

1) 10; 13; 17;

2) 9; 12; 21;

3) 8; 11; 20?

39. Может ли быть нулевым вектором сумма трёх векторов, модули которых равны:

1) 10; 13; 17;

2) 9; 12; 21;

3) 8; 11; 20?

Сумма трех векторов $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ может быть нулевым вектором, то есть $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$, если эти векторы могут образовать замкнутый треугольник. Длины сторон этого треугольника равны модулям векторов: $|\vec{a}|$, $|\vec{b}|$, $|\vec{c}|$.

Для того чтобы из трех отрезков можно было составить треугольник, необходимо и достаточно, чтобы длина наибольшего отрезка была не больше суммы длин двух других (неравенство треугольника).

1) 10; 13; 17;

Проверим выполнение неравенства треугольника для модулей $10$, $13$ и $17$. Наибольший модуль равен $17$.
Сумма двух других модулей: $10 + 13 = 23$.
Сравниваем: $17 < 23$.
Так как наибольший модуль меньше суммы двух других ($17 \le 10 + 13$), из таких векторов можно составить треугольник. Следовательно, их сумма может быть нулевым вектором.
Ответ: да, может.

2) 9; 12; 21;

Проверим выполнение неравенства треугольника для модулей $9$, $12$ и $21$. Наибольший модуль равен $21$.
Сумма двух других модулей: $9 + 12 = 21$.
Сравниваем: $21 = 21$.
Так как наибольший модуль равен сумме двух других ($21 \le 9 + 12$), векторы могут образовать вырожденный треугольник. Это происходит, когда два вектора (с модулями $9$ и $12$) коллинеарны и сонаправлены, а третий вектор (с модулем $21$) коллинеарен им и направлен в противоположную сторону. Их сумма будет нулевым вектором.
Ответ: да, может.

3) 8; 11; 20?

Проверим выполнение неравенства треугольника для модулей $8$, $11$ и $20$. Наибольший модуль равен $20$.
Сумма двух других модулей: $8 + 11 = 19$.
Сравниваем: $20 > 19$.
Так как наибольший модуль больше суммы двух других ($20 > 8 + 11$), неравенство треугольника не выполняется. Из отрезков такой длины невозможно составить треугольник. Следовательно, сумма векторов с такими модулями не может быть нулевым вектором.
Ответ: нет, не может.