Номер 38, страница 7 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

38. На рисунке 5 изображён параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Найдите сумму векторов:

1) $\vec{D_1A_1} + \vec{DC_1}$

2) $\vec{AC_1} + \vec{CD} + \vec{D_1A_1}$

Рис. 5

38. На рисунке 5 изображён параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Найдите сумму векторов:

1) $\vec{D_1A_1} + \vec{DC_1}$;

2) $\vec{AC_1} + \vec{CD} + \vec{D_1A_1}$.

Рис. 5

1) Найдем сумму векторов $\vec{D_1A_1} + \vec{DC_1}$. В параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ грань $A_1B_1C_1D_1$ является параллелограммом. По свойству параллелограмма, противоположные стороны равны и параллельны, следовательно, соответствующие им векторы равны: $\vec{D_1A_1} = \vec{C_1B_1}$. Заменим вектор $\vec{D_1A_1}$ в исходной сумме на равный ему вектор $\vec{C_1B_1}$:
$\vec{D_1A_1} + \vec{DC_1} = \vec{C_1B_1} + \vec{DC_1}$
По правилу сложения векторов (правило треугольника или правило Шаля), сумма векторов, где конец одного является началом другого, равна вектору, соединяющему начало первого с концом второго. Переставим слагаемые местами:
$\vec{DC_1} + \vec{C_1B_1} = \vec{DB_1}$
Таким образом, искомая сумма векторов равна $\vec{DB_1}$.
Ответ: $\vec{DB_1}$

2) Найдем сумму векторов $\vec{AC_1} + \vec{CD} + \vec{D_1A_1}$. Для упрощения выражения воспользуемся свойствами векторов в параллелепипеде. Грань $CDD_1C_1$ является параллелограммом, поэтому $\vec{CD} = \vec{C_1D_1}$. Подставим это равенство в исходное выражение:
$\vec{AC_1} + \vec{CD} + \vec{D_1A_1} = \vec{AC_1} + \vec{C_1D_1} + \vec{D_1A_1}$
Мы получили сумму векторов, в которой начало каждого последующего вектора совпадает с концом предыдущего. По правилу многоугольника (обобщенному правилу треугольника) для сложения векторов, такая сумма равна вектору, проведенному из начала первого вектора в конец последнего. Сложим векторы последовательно:
$(\vec{AC_1} + \vec{C_1D_1}) + \vec{D_1A_1} = \vec{AD_1} + \vec{D_1A_1} = \vec{AA_1}$
Следовательно, искомая сумма векторов равна $\vec{AA_1}$.
Ответ: $\vec{AA_1}$