Страница 7 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

30. Даны координаты трёх вершин параллелограмма ABCD: A (0; -2; 5), B (-4; 2; 3) и C (6; -4; -1). Используя векторы, найдите координаты вершины D.

30. Даны координаты трёх вершин параллелограмма ABCD: $A (0; -2; 5)$, $B (-4; 2; 3)$ и $C (6; -4; -1)$. Используя векторы, найдите координаты вершины $D$.

В параллелограмме $ABCD$ противолежащие стороны параллельны и равны. Это означает, что векторы, соответствующие этим сторонам, равны, например $\vec{AD} = \vec{BC}$ или $\vec{AB} = \vec{DC}$. Воспользуемся равенством $\vec{AD} = \vec{BC}$ для нахождения координат вершины $D$.

Пусть координаты вершины $D$ будут $(x; y; z)$.

Координаты вектора находятся как разность соответствующих координат его конца и начала.

Найдем координаты вектора $\vec{AD}$, зная координаты точек $A(0; -2; 5)$ и $D(x; y; z)$:
$\vec{AD} = \{x_D - x_A; y_D - y_A; z_D - z_A\} = \{x - 0; y - (-2); z - 5\} = \{x; y + 2; z - 5\}$.

Теперь найдем координаты вектора $\vec{BC}$, зная координаты точек $B(-4; 2; 3)$ и $C(6; -4; -1)$:
$\vec{BC} = \{x_C - x_B; y_C - y_B; z_C - z_B\} = \{6 - (-4); -4 - 2; -1 - 3\} = \{10; -6; -4\}$.

Так как $\vec{AD} = \vec{BC}$, их соответствующие координаты должны быть равны. Составим систему уравнений, приравнивая координаты векторов:

$ \begin{cases} x = 10 \\ y + 2 = -6 \\ z - 5 = -4 \end{cases} $

Решим эту систему:
$x = 10$
$y = -6 - 2 = -8$
$z = -4 + 5 = 1$

Следовательно, координаты вершины $D$ равны $(10; -8; 1)$.

Ответ: $D(10; -8; 1)$.

31. Найдите среди векторов$ \vec{a} (3; -4; 5), $$ \vec{b} (-4; 2; 4), $$ \vec{c} (3; \sqrt{2}; -5), $$ \vec{d} (1; 7; 0) $и$ \vec{e} (-2; \sqrt{5}; -5) $векторы, имеющие равные модули.

31. Найдите среди векторов $\vec{a} (3; -4; 5)$, $\vec{b} (-4; 2; 4)$, $\vec{c} (3; \sqrt{2}; -5)$, $\vec{d} (1; 7; 0)$ и $\vec{e} (-2; \sqrt{5}; -5)$ векторы, имеющие равные модули.

Для того чтобы найти векторы с равными модулями, необходимо вычислить модуль (длину) каждого из заданных векторов. Модуль вектора $\vec{v}$ с координатами $(x; y; z)$ вычисляется по формуле:

$|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$

Проведем вычисления для каждого вектора:

Для вектора $\vec{a}(3; -4; 5)$

Модуль вектора $\vec{a}$ равен:

$|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + (-4)^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 16 + 25} = \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$

Для вектора $\vec{b}(-4; 2; 4)$

Модуль вектора $\vec{b}$ равен:

$|\vec{b}| = \sqrt{(-4)^2 + 2^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 4 + 16} = \sqrt{36} = 6$

Для вектора $\vec{c}(3; \sqrt{2}; -5)$

Модуль вектора $\vec{c}$ равен:

$|\vec{c}| = \sqrt{3^2 + (\sqrt{2})^2 + (-5)^2} = \sqrt{9 + 2 + 25} = \sqrt{36} = 6$

Для вектора $\vec{d}(1; 7; 0)$

Модуль вектора $\vec{d}$ равен:

$|\vec{d}| = \sqrt{1^2 + 7^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 49 + 0} = \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$

Для вектора $\vec{e}(-2; \sqrt{5}; -5)$

Модуль вектора $\vec{e}$ равен:

$|\vec{e}| = \sqrt{(-2)^2 + (\sqrt{5})^2 + (-5)^2} = \sqrt{4 + 5 + 25} = \sqrt{34}$

Теперь сравним полученные значения модулей:

$|\vec{a}| = 5\sqrt{2}$

$|\vec{b}| = 6$

$|\vec{c}| = 6$

$|\vec{d}| = 5\sqrt{2}$

$|\vec{e}| = \sqrt{34}$

Из сравнения видно, что равные модули имеют две пары векторов:

$|\vec{a}| = |\vec{d}| = 5\sqrt{2}$

$|\vec{b}| = |\vec{c}| = 6$

Ответ: равные модули имеют векторы $\vec{a}$ и $\vec{d}$, а также векторы $\vec{b}$ и $\vec{c}$.

32. Найдите модуль вектора $\overrightarrow{DE}$, если $D(-3; 5; 7)$, $E(1; 6; 10)$.

32. Найдите модуль вектора $ \overrightarrow{DE} $, если $ D (-3; 5; 7) $, $ E (1; 6; 10) $.

Для того чтобы найти модуль вектора $\vec{DE}$, необходимо сначала определить его координаты. Координаты вектора находятся путем вычитания соответствующих координат начальной точки из координат конечной точки.

Координаты начальной точки $D$ равны $(-3; 5; 7)$.

Координаты конечной точки $E$ равны $(1; 6; 10)$.

Найдем координаты вектора $\vec{DE} = (x_E - x_D; y_E - y_D; z_E - z_D)$:

$\vec{DE} = (1 - (-3); 6 - 5; 10 - 7) = (1 + 3; 1; 3) = (4; 1; 3)$

Теперь, зная координаты вектора $\vec{DE}(4; 1; 3)$, мы можем найти его модуль (длину) по формуле:

$|\vec{DE}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$

Подставим координаты вектора в формулу:

$|\vec{DE}| = \sqrt{4^2 + 1^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 1 + 9} = \sqrt{26}$

Ответ: $\sqrt{26}$

33. Модуль вектора $\vec{m} (5; -3; z)$ равен 9. Найдите значение z.

33. Модуль вектора $\vec{m}$ $(5; -3; z)$ равен 9. Найдите значение $z$.

Модуль (длина) вектора $\vec{m}$ с координатами $(x; y; z)$ вычисляется по формуле:

$|\vec{m}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$

По условию, нам дан вектор $\vec{m}(5; -3; z)$ и его модуль $|\vec{m}| = 9$. Подставим известные значения в формулу:

$\sqrt{5^2 + (-3)^2 + z^2} = 9$

Для того чтобы решить полученное уравнение, возведем обе его части в квадрат, чтобы избавиться от знака корня:

$(\sqrt{5^2 + (-3)^2 + z^2})^2 = 9^2$

$5^2 + (-3)^2 + z^2 = 81$

Вычислим значения квадратов в левой части уравнения:

$25 + 9 + z^2 = 81$

Сложим числа:

$34 + z^2 = 81$

Теперь выразим $z^2$:

$z^2 = 81 - 34$

$z^2 = 47$

Из этого уравнения следует, что $z$ может принимать два значения:

$z = \sqrt{47}$ или $z = -\sqrt{47}$

Ответ: $z = \pm\sqrt{47}$.

34. Модуль вектора $\vec{p} (x; y; z)$ равен 6, его координаты $x$ и $z$ равны, а координаты $y$ и $z$ — противоположные числа. Найдите координаты вектора $\vec{p}$.

34. Модуль вектора $\vec{p} (x; y; z)$ равен 6, его координаты $x$ и $z$ равны, а координаты $y$ и $z$ — противоположные числа. Найдите координаты вектора $\vec{p}$.

Пусть вектор $\vec{p}$ имеет координаты $(x; y; z)$.

Модуль вектора (его длина) вычисляется по формуле: $|\vec{p}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.

По условию задачи, модуль вектора равен 6, следовательно: $\sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = 6$.

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня: $x^2 + y^2 + z^2 = 6^2$
$x^2 + y^2 + z^2 = 36$.

Из условия также известно о соотношениях между координатами: 1. Координаты $x$ и $z$ равны, то есть $x = z$. 2. Координаты $y$ и $z$ — противоположные числа, то есть $y = -z$.

Подставим эти соотношения в уравнение для модуля вектора, выразив $x$ и $y$ через $z$: $(z)^2 + (-z)^2 + z^2 = 36$.

Упростим и решим полученное уравнение: $z^2 + z^2 + z^2 = 36$
$3z^2 = 36$.

Найдем $z^2$: $z^2 = \frac{36}{3}$
$z^2 = 12$.

Теперь найдем $z$: $z = \pm\sqrt{12}$.

Упростим значение корня: $\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$. Таким образом, мы получаем два возможных значения для $z$: $z_1 = 2\sqrt{3}$ и $z_2 = -2\sqrt{3}$.

Для каждого значения $z$ найдем соответствующие значения $x$ и $y$.

Случай 1: Если $z = 2\sqrt{3}$.
Тогда $x = z = 2\sqrt{3}$.
И $y = -z = -2\sqrt{3}$.
Координаты вектора $\vec{p}$ в этом случае: $(2\sqrt{3}; -2\sqrt{3}; 2\sqrt{3})$.

Случай 2: Если $z = -2\sqrt{3}$.
Тогда $x = z = -2\sqrt{3}$.
И $y = -z = -(-2\sqrt{3}) = 2\sqrt{3}$.
Координаты вектора $\vec{p}$ в этом случае: $(-2\sqrt{3}; 2\sqrt{3}; -2\sqrt{3})$.

Ответ: $(2\sqrt{3}; -2\sqrt{3}; 2\sqrt{3})$ или $(-2\sqrt{3}; 2\sqrt{3}; -2\sqrt{3})$.

35. Найдите точку, являющуюся образом точки $B(4; -5; 3)$ при параллельном переносе на вектор $\vec{a}(-10; 5; 6)$.

35. Найдите точку, являющуюся образом точки $B(4; -5; 3)$

при параллельном переносе на вектор $\vec{a}(-10; 5; 6)$.

При параллельном переносе точки на заданный вектор, каждая координата точки изменяется на соответствующую координату вектора. Если исходная точка $B$ имеет координаты $(x_B; y_B; z_B)$, а вектор переноса $\vec{a}$ имеет координаты $(a_x; a_y; a_z)$, то образ точки, назовем его $B'$, будет иметь координаты $(x'; y'; z')$, которые вычисляются по формулам:

$x' = x_B + a_x$
$y' = y_B + a_y$
$z' = z_B + a_z$

В данном случае, координаты исходной точки $B(4; -5; 3)$, а координаты вектора переноса $\vec{a}(-10; 5; 6)$.

Вычислим координаты точки $B'$:

Координата $x'$:
$x' = 4 + (-10) = 4 - 10 = -6$

Координата $y'$:
$y' = -5 + 5 = 0$

Координата $z'$:
$z' = 3 + 6 = 9$

Следовательно, образом точки $B(4; -5; 3)$ при параллельном переносе на вектор $\vec{a}(-10; 5; 6)$ является точка с координатами $(-6; 0; 9)$.

Ответ: $(-6; 0; 9)$

36. Существует ли параллельный перенос, при котором образом точки $E(-2; 4; -1)$ является точка $E_1(5; -3; 1)$, а образом точки $F(7; -11; 10)$ — точка $F_1(14; -18; 12)$?

36. Существует ли параллельный перенос, при котором образом точки $E (-2; 4; -1)$ является точка $E_1 (5; -3; 1)$, а образом точки $F (7; -11; 10)$ — точка $F_1 (14; -18; 12)$?

Параллельный перенос в пространстве задается вектором. Если при параллельном переносе точка $M(x; y; z)$ переходит в точку $M_1(x_1; y_1; z_1)$, то вектор переноса $\vec{a}$ имеет координаты $(x_1 - x; y_1 - y; z_1 - z)$.

Для того чтобы один и тот же параллельный перенос переводил точку $E$ в $E_1$ и точку $F$ в $F_1$, векторы переноса $\vec{EE_1}$ и $\vec{FF_1}$ должны быть равны.

Найдем координаты вектора переноса $\vec{a_1} = \vec{EE_1}$ для точек $E(-2; 4; -1)$ и $E_1(5; -3; 1)$:

$\vec{a_1} = (5 - (-2); -3 - 4; 1 - (-1)) = (7; -7; 2)$.

Теперь найдем координаты вектора переноса $\vec{a_2} = \vec{FF_1}$ для точек $F(7; -11; 10)$ и $F_1(14; -18; 12)$:

$\vec{a_2} = (14 - 7; -18 - (-11); 12 - 10) = (7; -7; 2)$.

Так как векторы переноса $\vec{a_1}$ и $\vec{a_2}$ равны:

$\vec{a_1} = \vec{a_2} = (7; -7; 2)$,

то такой параллельный перенос существует.

Ответ: да, существует.

37. Дана призма $ABCA_1B_1C_1$ (рис. 4). Найдите сумму векторов:

1) $\vec{AB} + \vec{CC_1}$;

2) $\vec{C_1A} + \vec{BB_1}$.

Рис. 4

37. Дана призма $ABCA_1B_1C_1$ (рис. 4). Найдите сумму векторов:

1) $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CC_1}$;

2) $\overrightarrow{C_1A} + \overrightarrow{BB_1}$.

Рис. 4

1)

Для нахождения суммы векторов $\vec{AB} + \vec{CC_1}$ воспользуемся свойствами призмы. В призме $ABCA_1B_1C_1$ боковые ребра параллельны и равны, следовательно, векторы, соответствующие этим ребрам, равны между собой: $\vec{AA_1} = \vec{BB_1} = \vec{CC_1}$.

Заменим в исходном выражении вектор $\vec{CC_1}$ на равный ему вектор $\vec{BB_1}$:

$\vec{AB} + \vec{CC_1} = \vec{AB} + \vec{BB_1}$

Теперь мы можем применить правило треугольника для сложения векторов. Суммой векторов $\vec{AB}$ и $\vec{BB_1}$, отложенных последовательно (конец первого вектора совпадает с началом второго), является вектор, проведенный из начала первого вектора (точка А) в конец второго вектора (точка B₁).

Таким образом, $\vec{AB} + \vec{BB_1} = \vec{AB_1}$.

Ответ: $\vec{AB_1}$

2)

Для нахождения суммы векторов $\vec{C_1A} + \vec{BB_1}$ также используем равенство векторов боковых ребер: $\vec{BB_1} = \vec{AA_1}$.

Подставим равный вектор в искомую сумму:

$\vec{C_1A} + \vec{BB_1} = \vec{C_1A} + \vec{AA_1}$

Применим правило треугольника (правило Шаля) для сложения векторов. Сумма векторов, где конец одного совпадает с началом другого, равна вектору, соединяющему начало первого и конец второго. В нашем случае:

$\vec{C_1A} + \vec{AA_1} = \vec{C_1A_1}$

Также стоит отметить, что боковая грань $CAA_1C_1$ является параллелограммом, поэтому противоположные стороны равны и параллельны, а значит, соответствующие им векторы равны: $\vec{C_1A_1} = \vec{CA}$. Таким образом, ответ можно записать и как $\vec{CA}$.

Ответ: $\vec{C_1A_1}$ (или $\vec{CA}$)

38. На рисунке 5 изображён параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Найдите сумму векторов:

1) $\vec{D_1A_1} + \vec{DC_1}$

2) $\vec{AC_1} + \vec{CD} + \vec{D_1A_1}$

Рис. 5

38. На рисунке 5 изображён параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Найдите сумму векторов:

1) $\vec{D_1A_1} + \vec{DC_1}$;

2) $\vec{AC_1} + \vec{CD} + \vec{D_1A_1}$.

Рис. 5

1) Найдем сумму векторов $\vec{D_1A_1} + \vec{DC_1}$. В параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ грань $A_1B_1C_1D_1$ является параллелограммом. По свойству параллелограмма, противоположные стороны равны и параллельны, следовательно, соответствующие им векторы равны: $\vec{D_1A_1} = \vec{C_1B_1}$. Заменим вектор $\vec{D_1A_1}$ в исходной сумме на равный ему вектор $\vec{C_1B_1}$:
$\vec{D_1A_1} + \vec{DC_1} = \vec{C_1B_1} + \vec{DC_1}$
По правилу сложения векторов (правило треугольника или правило Шаля), сумма векторов, где конец одного является началом другого, равна вектору, соединяющему начало первого с концом второго. Переставим слагаемые местами:
$\vec{DC_1} + \vec{C_1B_1} = \vec{DB_1}$
Таким образом, искомая сумма векторов равна $\vec{DB_1}$.
Ответ: $\vec{DB_1}$

2) Найдем сумму векторов $\vec{AC_1} + \vec{CD} + \vec{D_1A_1}$. Для упрощения выражения воспользуемся свойствами векторов в параллелепипеде. Грань $CDD_1C_1$ является параллелограммом, поэтому $\vec{CD} = \vec{C_1D_1}$. Подставим это равенство в исходное выражение:
$\vec{AC_1} + \vec{CD} + \vec{D_1A_1} = \vec{AC_1} + \vec{C_1D_1} + \vec{D_1A_1}$
Мы получили сумму векторов, в которой начало каждого последующего вектора совпадает с концом предыдущего. По правилу многоугольника (обобщенному правилу треугольника) для сложения векторов, такая сумма равна вектору, проведенному из начала первого вектора в конец последнего. Сложим векторы последовательно:
$(\vec{AC_1} + \vec{C_1D_1}) + \vec{D_1A_1} = \vec{AD_1} + \vec{D_1A_1} = \vec{AA_1}$
Следовательно, искомая сумма векторов равна $\vec{AA_1}$.
Ответ: $\vec{AA_1}$