Страница 6 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

21. Точки $M (4; -7; 2)$ и $N$ симметричны относительно:

1) начала координат;

2) плоскости $yz$.

Найдите отрезок $MN$.

21. Точки $M (4; -7; 2)$ и $N$ симметричны относительно:

1) начала координат;

2) плоскости $yz$.

Найдите отрезок $MN$.

1) начала координат
Дана точка $M(4; -7; 2)$. Если точка $N(x_N; y_N; z_N)$ симметрична точке $M$ относительно начала координат $O(0; 0; 0)$, то ее координаты находятся путем изменения знака каждой из координат точки $M$.
$x_N = -x_M = -4$
$y_N = -y_M = -(-7) = 7$
$z_N = -z_M = -2$
Таким образом, координаты точки $N$ равны $(-4; 7; -2)$.
Длину отрезка $MN$ найдем по формуле расстояния между двумя точками в пространстве: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$
$MN = \sqrt{(-4 - 4)^2 + (7 - (-7))^2 + (-2 - 2)^2} = \sqrt{(-8)^2 + 14^2 + (-4)^2} = \sqrt{64 + 196 + 16} = \sqrt{276}$
Упростим полученное значение: $\sqrt{276} = \sqrt{4 \cdot 69} = 2\sqrt{69}$.
Ответ: $2\sqrt{69}$.

2) плоскости yz
Дана точка $M(4; -7; 2)$. Если точка $N(x_N; y_N; z_N)$ симметрична точке $M$ относительно плоскости $yz$, то координата $x$ точки $M$ меняет свой знак, а координаты $y$ и $z$ остаются неизменными. Это происходит потому, что плоскость $yz$ определяется уравнением $x=0$.
$x_N = -x_M = -4$
$y_N = y_M = -7$
$z_N = z_M = 2$
Таким образом, координаты точки $N$ равны $(-4; -7; 2)$.
Найдем длину отрезка $MN$ по той же формуле расстояния между двумя точками:
$MN = \sqrt{(-4 - 4)^2 + (-7 - (-7))^2 + (2 - 2)^2} = \sqrt{(-8)^2 + 0^2 + 0^2} = \sqrt{64} = 8$.
Ответ: $8$.

22. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ с вершинами в точках $A(2; -3; 1)$, $B(-1; 0; 4)$, $C(4; 1; 5)$ и $D(7; -2; 2)$ является ромбом.

22. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ с вершинами в точках $A (2; -3; 1)$, $B (-1; 0; 4)$, $C (4; 1; 5)$ и $D (7; -2; 2)$ является ромбом.

Для того чтобы доказать, что четырехугольник ABCD является ромбом, необходимо показать, что все его стороны равны по длине. Вычислим длину каждой стороны, используя формулу расстояния между двумя точками в пространстве с координатами $(x_1, y_1, z_1)$ и $(x_2, y_2, z_2)$:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$

Даны вершины четырехугольника: A(2; -3; 1), B(-1; 0; 4), C(4; 1; 5) и D(7; -2; 2).

Вычисление длины стороны AB

$|AB| = \sqrt{(-1 - 2)^2 + (0 - (-3))^2 + (4 - 1)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 3^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 9 + 9} = \sqrt{27}$.

Вычисление длины стороны BC

$|BC| = \sqrt{(4 - (-1))^2 + (1 - 0)^2 + (5 - 4)^2} = \sqrt{5^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{25 + 1 + 1} = \sqrt{27}$.

Вычисление длины стороны CD

$|CD| = \sqrt{(7 - 4)^2 + (-2 - 1)^2 + (2 - 5)^2} = \sqrt{3^2 + (-3)^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 9 + 9} = \sqrt{27}$.

Вычисление длины стороны DA

$|DA| = \sqrt{(2 - 7)^2 + (-3 - (-2))^2 + (1 - 2)^2} = \sqrt{(-5)^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{25 + 1 + 1} = \sqrt{27}$.

Так как длины всех сторон четырехугольника равны между собой: $|AB| = |BC| = |CD| = |DA| = \sqrt{27}$, то четырехугольник ABCD по определению является ромбом. Что и требовалось доказать.

Ответ: Четырехугольник ABCD является ромбом, так как длины всех его сторон равны $\sqrt{27}$.

23. Докажите, что точки $A(-5; 3; 2)$, $B(-23; 0; 17)$ и $C(1; 4; -3)$ лежат на одной прямой. Какая из этих точек лежит между двумя другими?

23. Докажите, что точки $A (-5; 3; 2)$, $B (-23; 0; 17)$ и $C (1; 4; -3)$ лежат на одной прямой. Какая из этих точек лежит между двумя другими?

Для доказательства того, что три точки лежат на одной прямой (коллинеарны), достаточно показать, что два вектора, построенные на этих точках с общим началом, коллинеарны. Возьмем точку A за общее начало и найдем координаты векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$.

Координаты вектора $\vec{AB}$ вычисляются как разность соответствующих координат его конца (точки B) и начала (точки A):

$\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A) = (-23 - (-5); 0 - 3; 17 - 2) = (-18; -3; 15)$

Аналогично для вектора $\vec{AC}$:

$\vec{AC} = (x_C - x_A; y_C - y_A; z_C - z_A) = (1 - (-5); 4 - 3; -3 - 2) = (6; 1; -5)$

Векторы коллинеарны, если их соответствующие координаты пропорциональны. Проверим, существует ли такое число $k$, что $\vec{AB} = k \cdot \vec{AC}$. Для этого найдем отношение соответствующих координат:

$\frac{x_{AB}}{x_{AC}} = \frac{-18}{6} = -3$

$\frac{y_{AB}}{y_{AC}} = \frac{-3}{1} = -3$

$\frac{z_{AB}}{z_{AC}} = \frac{15}{-5} = -3$

Поскольку отношения всех соответствующих координат равны одному и тому же числу (-3), векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ коллинеарны, и выполняется соотношение $\vec{AB} = -3 \cdot \vec{AC}$. Так как векторы коллинеарны и имеют общее начало в точке A, то точки A, B и C лежат на одной прямой.

Ответ: Утверждение доказано.

Для определения взаимного расположения точек на прямой можно воспользоваться полученным ранее соотношением $\vec{AB} = -3 \cdot \vec{AC}$ или сравнить расстояния между точками.

Способ 1: Анализ векторов.

Равенство $\vec{AB} = -3 \cdot \vec{AC}$ показывает, что векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ направлены в противоположные стороны от их общего начала, точки A (поскольку коэффициент пропорциональности $k = -3$ отрицателен). Это означает, что точка A лежит между точками B и C.

Способ 2: Сравнение расстояний.

Найдем расстояния между точками, которые равны длинам (модулям) соответствующих векторов. Если сумма длин двух меньших отрезков равна длине большего отрезка, то точка, являющаяся общей для двух меньших отрезков, лежит между двумя другими.

Длина отрезка AC: $|AC| = |\vec{AC}| = \sqrt{6^2 + 1^2 + (-5)^2} = \sqrt{36 + 1 + 25} = \sqrt{62}$.

Длина отрезка AB: $|AB| = |\vec{AB}| = \sqrt{(-18)^2 + (-3)^2 + 15^2} = \sqrt{324 + 9 + 225} = \sqrt{558} = \sqrt{9 \cdot 62} = 3\sqrt{62}$.

Найдем вектор $\vec{BC}$ и его длину:

$\vec{BC} = (x_C - x_B; y_C - y_B; z_C - z_B) = (1 - (-23); 4 - 0; -3 - 17) = (24; 4; -20)$.

Длина отрезка BC: $|BC| = |\vec{BC}| = \sqrt{24^2 + 4^2 + (-20)^2} = \sqrt{576 + 16 + 400} = \sqrt{992} = \sqrt{16 \cdot 62} = 4\sqrt{62}$.

Теперь проверим, выполняется ли равенство $|AB| + |AC| = |BC|$:

$3\sqrt{62} + \sqrt{62} = 4\sqrt{62}$.

Равенство выполняется, следовательно, точка А лежит между точками B и C.

Ответ: Точка A лежит между точками B и C.

24. На рисунке 3 изображён куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Верно ли утверждение:

1) $\vec{AB} \parallel \vec{C_1 D_1}$;

2) $\vec{AB} \uparrow\uparrow \vec{DC}$;

3) $\vec{AA_1} \uparrow\uparrow \vec{BB_1}$;

4) $\vec{A_1 C_1} \uparrow\downarrow \vec{AC}$;

5) $\left| \vec{AC} \right| = \left| \vec{DC_1} \right|$;

6) $\vec{AB} = \vec{AD}$;

7) $\vec{AB} = \vec{CD}$;

8) $\vec{AB} = \vec{A_1 B_1}$;

9) $\vec{AB_1} = \vec{DC_1}$?

Рис. 3

24. На рисунке 3 изображён куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Верно ли утверждение:

Рис. 3

1) $\vec{AB} \parallel \vec{C_1D_1}$;

2) $\vec{AB} \uparrow\uparrow \vec{DC}$;

3) $\vec{AA_1} \uparrow\uparrow \vec{BB_1}$;

4) $\vec{A_1C_1} \uparrow\downarrow \vec{AC}$;

5) $|\vec{AC}| = |\vec{DC_1}|$;

6) $\vec{AB} = \vec{AD}$;

7) $\vec{AB} = \vec{CD}$;

8) $\vec{AB} = \vec{A_1B_1}$;

9) $\vec{AB_1} = \vec{DC_1}$?

1) $\vec{AB} \parallel \vec{C_1D_1}$

В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ ребро $AB$ параллельно ребру $CD$, а ребро $CD$ в свою очередь параллельно ребру $C_1D_1$. Из свойства транзитивности параллельных прямых следует, что прямая $AB$ параллельна прямой $C_1D_1$. Векторы, лежащие на параллельных прямых, называются коллинеарными (или параллельными). Таким образом, векторы $\vec{AB}$ и $\vec{C_1D_1}$ коллинеарны.
Ответ: Верно.

2) $\vec{AB} \uparrow\uparrow \vec{DC}$

Знак $\uparrow\uparrow$ означает, что векторы сонаправлены (их направления совпадают). Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$ соответствуют противоположным сторонам грани $ABCD$, которая является квадратом. В квадрате противоположные стороны параллельны и равны. Направление от точки $A$ к точке $B$ совпадает с направлением от точки $D$ к точке $C$. Следовательно, векторы $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$ равны, а равные векторы всегда сонаправлены.
Ответ: Верно.

3) $\vec{AA_1} \uparrow\uparrow \vec{BB_1}$

Векторы $\vec{AA_1}$ и $\vec{BB_1}$ соответствуют боковым рёбрам куба $AA_1$ и $BB_1$. Эти рёбра параллельны и равны по длине, а также направлены в одну сторону (от нижнего основания к верхнему). Таким образом, векторы $\vec{AA_1}$ и $\vec{BB_1}$ равны, а значит и сонаправлены.
Ответ: Верно.

4) $\vec{A_1C_1} \uparrow\downarrow \vec{AC}$

Знак $\uparrow\downarrow$ означает, что векторы противоположно направлены. Вектор $\vec{AC}$ — это диагональ нижнего основания $ABCD$, а вектор $\vec{A_1C_1}$ — диагональ верхнего основания $A_1B_1C_1D_1$. Поскольку верхнее основание является результатом параллельного переноса нижнего основания на вектор $\vec{AA_1}$, то и диагональ $\vec{A_1C_1}$ является результатом того же переноса диагонали $\vec{AC}$. Это означает, что векторы равны: $\vec{A_1C_1} = \vec{AC}$. Равные векторы сонаправлены ($\uparrow\uparrow$), а не противоположно направлены.
Ответ: Неверно.

5) $|\vec{AC}| = |\vec{DC_1}|$

Пусть длина ребра куба равна $a$. Модуль вектора $|\vec{AC}|$ — это длина диагонали грани $ABCD$. По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $ADC$, $AC^2 = AD^2 + DC^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$. Следовательно, $|\vec{AC}| = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.
Модуль вектора $|\vec{DC_1}|$ — это длина диагонали грани $DCC_1D_1$. По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $DCC_1$, $DC_1^2 = DC^2 + CC_1^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$. Следовательно, $|\vec{DC_1}| = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.
Так как длины векторов равны, утверждение верно.
Ответ: Верно.

6) $\vec{AB} = \vec{AD}$

Два вектора равны, если они сонаправлены и их длины равны. Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$ соответствуют смежным рёбрам куба. Их длины равны ($|\vec{AB}| = |\vec{AD}| = a$), но их направления различны, так как рёбра $AB$ и $AD$ перпендикулярны. Поскольку векторы не сонаправлены, они не равны.
Ответ: Неверно.

7) $\vec{AB} = \vec{CD}$

Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ лежат на параллельных прямых и имеют одинаковую длину. Однако направление от $A$ к $B$ противоположно направлению от $C$ к $D$. Таким образом, эти векторы являются противоположно направленными: $\vec{AB} = -\vec{CD}$. Следовательно, они не равны.
Ответ: Неверно.

8) $\vec{AB} = \vec{A_1B_1}$

Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{A_1B_1}$ соответствуют параллельным рёбрам куба. Грань $ABB_1A_1$ является квадратом, поэтому $\vec{AB}$ и $\vec{A_1B_1}$ параллельны, равны по длине и сонаправлены. Таким образом, векторы равны.
Ответ: Верно.

9) $\vec{AB_1} = \vec{DC_1}$

Разложим векторы по трём некомпланарным векторам, соответствующим рёбрам куба с общей вершиной $A$: $\vec{AB}$, $\vec{AD}$, $\vec{AA_1}$.
Используя правило параллелограмма, получаем:
$\vec{AB_1} = \vec{AB} + \vec{BB_1}$. Так как $\vec{BB_1} = \vec{AA_1}$, то $\vec{AB_1} = \vec{AB} + \vec{AA_1}$.
$\vec{DC_1} = \vec{DC} + \vec{CC_1}$. Так как $\vec{DC} = \vec{AB}$ и $\vec{CC_1} = \vec{AA_1}$, то $\vec{DC_1} = \vec{AB} + \vec{AA_1}$.
Поскольку правые части выражений равны, то и левые части равны: $\vec{AB_1} = \vec{DC_1}$.
Ответ: Верно.

25. Начертите призму $ABCA_1B_1C_1$. Отложите:

1) от точки $A$ вектор, равный вектору $\vec{A_1A}$;

2) от точки $B$ вектор, равный вектору $\vec{C_1B_1}$;

3) от точки $C_1$ вектор, равный вектору $\vec{AB}$.

25. Начертите призму $ABCA_1B_1C_1$. Отложите:

1) от точки $A$ вектор, равный вектору $\vec{A_1A}$;

2) от точки $B$ вектор, равный вектору $\vec{C_1B_1}$;

3) от точки $C_1$ вектор, равный вектору $\vec{AB}$.

Для решения задачи сначала начертим произвольную треугольную призму $ABCA_1B_1C_1$. В такой призме основания $ABC$ и $A_1B_1C_1$ являются равными треугольниками, лежащими в параллельных плоскостях, а боковые ребра $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ параллельны и равны.

Из свойств призмы следуют следующие векторные равенства:

• Векторы боковых ребер равны: $\vec{AA_1} = \vec{BB_1} = \vec{CC_1}$. Следовательно, равны и противоположные им векторы: $\vec{A_1A} = \vec{B_1B} = \vec{C_1C}$.
• Векторы соответствующих сторон оснований равны: $\vec{AB} = \vec{A_1B_1}$, $\vec{BC} = \vec{B_1C_1}$, $\vec{CA} = \vec{C_1A_1}$.

Теперь выполним требуемые построения для каждого пункта.

1) от точки А вектор, равный вектору $\vec{A_1A}$

Вектор $\vec{A_1A}$ направлен от вершины $A_1$ верхнего основания к соответствующей вершине $A$ нижнего основания. Отложить от точки $A$ вектор, равный вектору $\vec{A_1A}$, означает построить такой вектор $\vec{AD}$, что его начало находится в точке $A$, и он удовлетворяет условию $\vec{AD} = \vec{A_1A}$.

Геометрически это вектор, который начинается в точке $A$, параллелен боковым ребрам призмы (например, $A_1A$), равен им по длине и направлен так же, как и вектор $\vec{A_1A}$ (то есть от верхнего основания к нижнему).

Ответ: Искомый вектор — это вектор $\vec{AD}$, где точка $D$ такова, что $\vec{AD} = \vec{A_1A}$.

2) от точки B вектор, равный вектору $\vec{C_1B_1}$

Вектор $\vec{C_1B_1}$ является стороной верхнего основания. В силу свойств призмы, соответствующие стороны оснований параллельны и равны. Вектор $\vec{C_1B_1}$ в верхнем основании соответствует вектору $\vec{CB}$ в нижнем основании, то есть $\vec{C_1B_1} = \vec{CB}$.

Отложить от точки $B$ вектор, равный вектору $\vec{C_1B_1}$, означает построить вектор $\vec{BE}$ с началом в точке $B$ такой, что $\vec{BE} = \vec{C_1B_1}$. Поскольку $\vec{C_1B_1} = \vec{CB}$, то мы строим вектор $\vec{BE}$ такой, что $\vec{BE} = \vec{CB}$.

Ответ: Искомый вектор — это вектор $\vec{BE}$, где точка $E$ такова, что $\vec{BE} = \vec{CB}$.

3) от точки C₁ вектор, равный вектору $\vec{AB}$

Вектор $\vec{AB}$ является стороной нижнего основания. По свойствам призмы $\vec{AB} = \vec{A_1B_1}$.

Отложить от точки $C_1$ вектор, равный вектору $\vec{AB}$, означает построить вектор $\vec{C_1F}$ с началом в точке $C_1$ такой, что $\vec{C_1F} = \vec{AB}$.

Используя равенство $\vec{AB} = \vec{A_1B_1}$, получаем, что мы строим вектор $\vec{C_1F}$ такой, что $\vec{C_1F} = \vec{A_1B_1}$. Из этого векторного равенства следует, что точки $C_1$, $A_1$, $B_1$ и $F$ образуют параллелограмм $A_1B_1FC_1$.

Ответ: Искомый вектор — это вектор $\vec{C_1F}$, где точка $F$ такова, что четырёхугольник $A_1B_1FC_1$ является параллелограммом.

26. Найдите координаты вектора $\overrightarrow{AB}$, если A (2; 3; 1), B (1; -4; 5).

26. Найдите координаты вектора $\vec{AB}$, если $A (2; 3; 1)$, $B (1; -4; 5).$

Чтобы найти координаты вектора $\vec{AB}$, зная координаты его начальной точки $A(x_A; y_A; z_A)$ и конечной точки $B(x_B; y_B; z_B)$, нужно из координат конечной точки вычесть соответствующие координаты начальной точки.
Формула для вычисления координат вектора:
$\vec{AB} = \{x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A\}$
Нам даны координаты точек: $A(2; 3; 1)$ и $B(1; -4; 5)$.
Подставим эти значения в формулу для каждой координаты:
Координата по оси x: $1 - 2 = -1$
Координата по оси y: $-4 - 3 = -7$
Координата по оси z: $5 - 1 = 4$
Таким образом, координаты вектора $\vec{AB}$ равны $\{-1; -7; 4\}$.
Ответ: $\vec{AB}\{-1; -7; 4\}$

27. Найдите координаты начала вектора $\overrightarrow{EF}$ (6; -9; 2), если $F$ (-8; 3; -5).

27. Найдите координаты начала вектора $\vec{EF}$ (6; -9; 2), если F (-8; 3; -5).

Пусть координаты начала вектора, точки E, равны $(x_E; y_E; z_E)$, а координаты конца вектора, точки F, равны $(x_F; y_F; z_F)$.

Координаты вектора $\overrightarrow{EF}$ вычисляются по формуле:

$\overrightarrow{EF} = (x_F - x_E; y_F - y_E; z_F - z_E)$

По условию задачи нам известны координаты вектора $\overrightarrow{EF} (6; -9; 2)$ и координаты его конца, точки F $(-8; 3; -5)$. Подставим эти значения в формулы для каждой координаты:

Для координаты x:

$6 = -8 - x_E$

$x_E = -8 - 6$

$x_E = -14$

Для координаты y:

$-9 = 3 - y_E$

$y_E = 3 - (-9)$

$y_E = 3 + 9$

$y_E = 12$

Для координаты z:

$2 = -5 - z_E$

$z_E = -5 - 2$

$z_E = -7$

Таким образом, координаты начала вектора, точки E, равны $(-14; 12; -7)$.

Ответ: E(-14; 12; -7)

28. Даны точки A (3; -2; 5), B (-4; y; 1), C (x; -6; -11) и D (-9; 2; z). При каких значениях x, y и z верно равенство $\vec{AB} = \vec{CD}$?

28. Даны точки A (3; -2; 5), B (-4; y; 1), C (x; -6; -11) и D (-9; 2; z). При каких значениях x, y и z верно равенство $\vec{AB} = \vec{CD}$?

Для того чтобы два вектора были равны, их соответствующие координаты должны быть равны. То есть, равенство $\vec{AB} = \vec{CD}$ выполняется тогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты.

1. Нахождение координат вектора $\vec{AB}$

Координаты вектора вычисляются как разность соответствующих координат его конца и начала. Для вектора $\vec{AB}$ с началом в точке $A(3; -2; 5)$ и концом в точке $B(-4; y; 1)$ имеем:

$\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A) = (-4 - 3; y - (-2); 1 - 5) = (-7; y + 2; -4)$

2. Нахождение координат вектора $\vec{CD}$

Аналогично, для вектора $\vec{CD}$ с началом в точке $C(x; -6; -11)$ и концом в точке $D(-9; 2; z)$ имеем:

$\vec{CD} = (x_D - x_C; y_D - y_C; z_D - z_C) = (-9 - x; 2 - (-6); z - (-11)) = (-9 - x; 8; z + 11)$

3. Решение системы уравнений

Приравниваем соответствующие координаты векторов $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$:

$ \begin{cases} -7 = -9 - x \\ y + 2 = 8 \\ -4 = z + 11 \end{cases} $

Теперь решим каждое уравнение отдельно:

• Из первого уравнения:
  $-7 = -9 - x$
  $x = -9 + 7$
  $x = -2$
• Из второго уравнения:
  $y + 2 = 8$
  $y = 8 - 2$
  $y = 6$
• Из третьего уравнения:
  $-4 = z + 11$
  $z = -4 - 11$
  $z = -15$

Таким образом, равенство векторов верно при найденных значениях $x, y$ и $z$.

Ответ: $x = -2, y = 6, z = -15$.

29. Используя векторы, докажите, что четырёхугольник $ABCD$ с вершинами в точках $A (6; -1; -2)$, $B (4; 0; -7)$, $C (22; -11; -6)$ и $D (24; -12; -1)$ является параллелограммом.

29. Используя векторы, докажите, что четырёхугольник ABCD с вершинами в точках A (6; -1; -2), B (4; 0; -7), C (22; -11; -6) и D (24; -12; -1) является параллелограммом.

Чтобы доказать, что четырехугольник ABCD является параллелограммом, используя векторы, достаточно показать, что векторы его противоположных сторон равны. Например, что вектор $\vec{AB}$ равен вектору $\vec{DC}$.

Найдем координаты вектора $\vec{AB}$, зная координаты его начала $A(6; -1; -2)$ и конца $B(4; 0; -7)$. Координаты вектора равны разности соответствующих координат его конца и начала:

$\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A) = (4 - 6; 0 - (-1); -7 - (-2)) = (-2; 1; -5)$.

Теперь найдем координаты вектора $\vec{DC}$, зная координаты его начала $D(24; -12; -1)$ и конца $C(22; -11; -6)$:

$\vec{DC} = (x_C - x_D; y_C - y_D; z_C - z_D) = (22 - 24; -11 - (-12); -6 - (-1)) = (-2; 1; -5)$.

Сравним полученные векторы: $\vec{AB} = (-2; 1; -5)$ и $\vec{DC} = (-2; 1; -5)$.

Поскольку векторы $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$ имеют одинаковые координаты, они равны: $\vec{AB} = \vec{DC}$.

Равенство векторов $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$ означает, что отрезки AB и DC параллельны и равны по длине. Это является достаточным признаком параллелограмма.

Ответ: Так как $\vec{AB} = \vec{DC}$, четырехугольник ABCD является параллелограммом, что и требовалось доказать.