Номер 25, страница 6 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

25. Начертите призму $ABCA_1B_1C_1$. Отложите:

1) от точки $A$ вектор, равный вектору $\vec{A_1A}$;

2) от точки $B$ вектор, равный вектору $\vec{C_1B_1}$;

3) от точки $C_1$ вектор, равный вектору $\vec{AB}$.

25. Начертите призму $ABCA_1B_1C_1$. Отложите:

1) от точки $A$ вектор, равный вектору $\vec{A_1A}$;

2) от точки $B$ вектор, равный вектору $\vec{C_1B_1}$;

3) от точки $C_1$ вектор, равный вектору $\vec{AB}$.

Для решения задачи сначала начертим произвольную треугольную призму $ABCA_1B_1C_1$. В такой призме основания $ABC$ и $A_1B_1C_1$ являются равными треугольниками, лежащими в параллельных плоскостях, а боковые ребра $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ параллельны и равны.

Из свойств призмы следуют следующие векторные равенства:

• Векторы боковых ребер равны: $\vec{AA_1} = \vec{BB_1} = \vec{CC_1}$. Следовательно, равны и противоположные им векторы: $\vec{A_1A} = \vec{B_1B} = \vec{C_1C}$.
• Векторы соответствующих сторон оснований равны: $\vec{AB} = \vec{A_1B_1}$, $\vec{BC} = \vec{B_1C_1}$, $\vec{CA} = \vec{C_1A_1}$.

Теперь выполним требуемые построения для каждого пункта.

1) от точки А вектор, равный вектору $\vec{A_1A}$

Вектор $\vec{A_1A}$ направлен от вершины $A_1$ верхнего основания к соответствующей вершине $A$ нижнего основания. Отложить от точки $A$ вектор, равный вектору $\vec{A_1A}$, означает построить такой вектор $\vec{AD}$, что его начало находится в точке $A$, и он удовлетворяет условию $\vec{AD} = \vec{A_1A}$.

Геометрически это вектор, который начинается в точке $A$, параллелен боковым ребрам призмы (например, $A_1A$), равен им по длине и направлен так же, как и вектор $\vec{A_1A}$ (то есть от верхнего основания к нижнему).

Ответ: Искомый вектор — это вектор $\vec{AD}$, где точка $D$ такова, что $\vec{AD} = \vec{A_1A}$.

2) от точки B вектор, равный вектору $\vec{C_1B_1}$

Вектор $\vec{C_1B_1}$ является стороной верхнего основания. В силу свойств призмы, соответствующие стороны оснований параллельны и равны. Вектор $\vec{C_1B_1}$ в верхнем основании соответствует вектору $\vec{CB}$ в нижнем основании, то есть $\vec{C_1B_1} = \vec{CB}$.

Отложить от точки $B$ вектор, равный вектору $\vec{C_1B_1}$, означает построить вектор $\vec{BE}$ с началом в точке $B$ такой, что $\vec{BE} = \vec{C_1B_1}$. Поскольку $\vec{C_1B_1} = \vec{CB}$, то мы строим вектор $\vec{BE}$ такой, что $\vec{BE} = \vec{CB}$.

Ответ: Искомый вектор — это вектор $\vec{BE}$, где точка $E$ такова, что $\vec{BE} = \vec{CB}$.

3) от точки C₁ вектор, равный вектору $\vec{AB}$

Вектор $\vec{AB}$ является стороной нижнего основания. По свойствам призмы $\vec{AB} = \vec{A_1B_1}$.

Отложить от точки $C_1$ вектор, равный вектору $\vec{AB}$, означает построить вектор $\vec{C_1F}$ с началом в точке $C_1$ такой, что $\vec{C_1F} = \vec{AB}$.

Используя равенство $\vec{AB} = \vec{A_1B_1}$, получаем, что мы строим вектор $\vec{C_1F}$ такой, что $\vec{C_1F} = \vec{A_1B_1}$. Из этого векторного равенства следует, что точки $C_1$, $A_1$, $B_1$ и $F$ образуют параллелограмм $A_1B_1FC_1$.

Ответ: Искомый вектор — это вектор $\vec{C_1F}$, где точка $F$ такова, что четырёхугольник $A_1B_1FC_1$ является параллелограммом.