Номер 20, страница 5 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

20. Найдите координаты точек $A$ и $B$ и отрезок $AB$, если точка $A$ принадлежит оси $z$, точка $B$ лежит в плоскости $xy$ и точка $C(-3; 1; -4)$ — середина отрезка $AB$.

20. Найдите координаты точек $A$ и $B$ и отрезок $AB$, если точка $A$ принадлежит оси $z$, точка $B$ лежит в плоскости $xy$ и точка $C(-3; 1; -4)$ — середина отрезка $AB$.

Обозначим координаты искомых точек как $A(x_A, y_A, z_A)$ и $B(x_B, y_B, z_B)$.

Согласно условию задачи, точка $A$ принадлежит оси $z$. Это означает, что ее абсцисса и ордината равны нулю: $x_A = 0$, $y_A = 0$. Таким образом, координаты точки $A$ имеют вид $(0, 0, z_A)$.

Точка $B$ лежит в плоскости $xy$. Это означает, что ее аппликата равна нулю: $z_B = 0$. Таким образом, координаты точки $B$ имеют вид $(x_B, y_B, 0)$.

Точка $C(-3; 1; -4)$ является серединой отрезка $AB$. Координаты середины отрезка вычисляются как среднее арифметическое соответствующих координат его концов. Запишем формулы для координат точки $C$:
$x_C = \frac{x_A + x_B}{2}$
$y_C = \frac{y_A + y_B}{2}$
$z_C = \frac{z_A + z_B}{2}$

Координаты точек А и В

Подставим известные значения в формулы для координат середины отрезка и найдем неизвестные координаты $x_B, y_B, z_A$.

Для координаты $x$:
$-3 = \frac{0 + x_B}{2}$
$x_B = -3 \cdot 2 = -6$

Для координаты $y$:
$1 = \frac{0 + y_B}{2}$
$y_B = 1 \cdot 2 = 2$

Для координаты $z$:
$-4 = \frac{z_A + 0}{2}$
$z_A = -4 \cdot 2 = -8$

Следовательно, координаты точки $A$ равны $(0, 0, -8)$, а координаты точки $B$ равны $(-6, 2, 0)$.
Ответ: $A(0; 0; -8)$, $B(-6; 2; 0)$.

Отрезок АВ

Длину отрезка $AB$ (или расстояние между точками $A$ и $B$) найдем по формуле расстояния в трехмерном пространстве:
$|AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}$

Подставим найденные координаты точек $A(0, 0, -8)$ и $B(-6, 2, 0)$ в формулу:
$|AB| = \sqrt{(-6 - 0)^2 + (2 - 0)^2 + (0 - (-8))^2}$
$|AB| = \sqrt{(-6)^2 + 2^2 + 8^2}$
$|AB| = \sqrt{36 + 4 + 64}$
$|AB| = \sqrt{104}$

Упростим корень из 104:
$|AB| = \sqrt{4 \cdot 26} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{26} = 2\sqrt{26}$.
Ответ: $2\sqrt{26}$.