Номер 19, страница 5 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

19. Даны точки $A (3; -1; -2)$, $B (-5; 7; 4)$, $C (1; 5; 2)$. Найдите среднюю линию $MN$ треугольника $ABC$, где точки $M$ и $N$ — середины сторон $AC$ и $BC$ соответственно.

19. Даны точки $A (3; -1; -2)$, $B (-5; 7; 4)$, $C (1; 5; 2)$. Найдите среднюю линию $MN$ треугольника $ABC$, где точки $M$ и $N$ — середины сторон $AC$ и $BC$ соответственно.

Для нахождения средней линии MN треугольника ABC, сначала найдем координаты ее конечных точек M и N. По условию, M — середина стороны AC, а N — середина стороны BC.

Координаты середины отрезка находятся как полусумма соответствующих координат его концов. Найдем координаты точки M, используя координаты точек A(3; -1; -2) и C(1; 5; 2):

$M = \left( \frac{x_A + x_C}{2}; \frac{y_A + y_C}{2}; \frac{z_A + z_C}{2} \right) = \left( \frac{3 + 1}{2}; \frac{-1 + 5}{2}; \frac{-2 + 2}{2} \right) = \left( \frac{4}{2}; \frac{4}{2}; \frac{0}{2} \right) = (2; 2; 0)$

Теперь найдем координаты точки N, используя координаты точек B(-5; 7; 4) и C(1; 5; 2):

$N = \left( \frac{x_B + x_C}{2}; \frac{y_B + y_C}{2}; \frac{z_B + z_C}{2} \right) = \left( \frac{-5 + 1}{2}; \frac{7 + 5}{2}; \frac{4 + 2}{2} \right) = \left( \frac{-4}{2}; \frac{12}{2}; \frac{6}{2} \right) = (-2; 6; 3)$

Длина средней линии MN — это расстояние между точками M(2; 2; 0) и N(-2; 6; 3). Вычислим его по формуле расстояния между двумя точками в пространстве:

$|MN| = \sqrt{(x_N - x_M)^2 + (y_N - y_M)^2 + (z_N - z_M)^2}$

Подставим координаты точек M и N в формулу:

$|MN| = \sqrt{(-2 - 2)^2 + (6 - 2)^2 + (3 - 0)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 16 + 9} = \sqrt{41}$

Ответ: $\sqrt{41}$