Номер 17, страница 5 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

17. Найдите координаты вершины $D$ параллелограмма $ABCD$, если $A (3; -4; 5)$, $B (-6; 1; 6)$, $C (-5; 2; 1)$.

17. Найдите координаты вершины $D$ параллелограмма $ABCD$, если $A (3; -4; 5)$, $B (-6; 1; 6)$, $C (-5; 2; 1)$.

Для нахождения координат четвертой вершины параллелограмма ABCD можно воспользоваться одним из его свойств. Наиболее удобным в данном случае является свойство равенства векторов, образующих противоположные стороны, или свойство того, что диагонали параллелограмма пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.

Способ 1: Использование векторов

В параллелограмме ABCD вектор $\vec{AD}$ равен вектору $\vec{BC}$.

Даны координаты трех вершин: A(3; -4; 5), B(-6; 1; 6), C(-5; 2; 1). Обозначим координаты искомой вершины D как $(x; y; z)$.

1. Найдем координаты вектора $\vec{BC}$, вычитая из координат точки C соответствующие координаты точки B:

$\vec{BC} = (x_C - x_B; y_C - y_B; z_C - z_B) = (-5 - (-6); 2 - 1; 1 - 6) = (1; 1; -5)$

2. Аналогично найдем координаты вектора $\vec{AD}$, вычитая из координат точки D соответствующие координаты точки A:

$\vec{AD} = (x - x_A; y - y_A; z - z_A) = (x - 3; y - (-4); z - 5) = (x - 3; y + 4; z - 5)$

3. Так как векторы $\vec{AD}$ и $\vec{BC}$ равны, их соответствующие координаты также равны. Приравняем их и составим систему уравнений:

$\begin{cases} x - 3 = 1 \\ y + 4 = 1 \\ z - 5 = -5 \end{cases}$

4. Решим полученную систему уравнений:

$x = 1 + 3 = 4$

$y = 1 - 4 = -3$

$z = -5 + 5 = 0$

Таким образом, координаты вершины D: (4; -3; 0).

Способ 2: Использование середины диагоналей

Диагонали параллелограмма AC и BD пересекаются в одной точке O, которая является серединой каждой из них.

1. Найдем координаты середины O диагонали AC:

$x_O = \frac{x_A + x_C}{2} = \frac{3 + (-5)}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

$y_O = \frac{y_A + y_C}{2} = \frac{-4 + 2}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

$z_O = \frac{z_A + z_C}{2} = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3$

Таким образом, точка пересечения диагоналей O имеет координаты (-1; -1; 3).

2. Точка O также является серединой диагонали BD. Запишем формулы для нахождения середины отрезка BD, где D(x; y; z):

$x_O = \frac{x_B + x}{2} \implies -1 = \frac{-6 + x}{2}$

$y_O = \frac{y_B + y}{2} \implies -1 = \frac{1 + y}{2}$

$z_O = \frac{z_B + z}{2} \implies 3 = \frac{6 + z}{2}$

3. Решим полученные уравнения относительно x, y, z:

$-2 = -6 + x \implies x = -2 + 6 = 4$

$-2 = 1 + y \implies y = -2 - 1 = -3$

$6 = 6 + z \implies z = 6 - 6 = 0$

Координаты вершины D: (4; -3; 0).

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: D(4; -3; 0).