Номер 24, страница 6 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

24. На рисунке 3 изображён куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Верно ли утверждение:

1) $\vec{AB} \parallel \vec{C_1 D_1}$;

2) $\vec{AB} \uparrow\uparrow \vec{DC}$;

3) $\vec{AA_1} \uparrow\uparrow \vec{BB_1}$;

4) $\vec{A_1 C_1} \uparrow\downarrow \vec{AC}$;

5) $\left| \vec{AC} \right| = \left| \vec{DC_1} \right|$;

6) $\vec{AB} = \vec{AD}$;

7) $\vec{AB} = \vec{CD}$;

8) $\vec{AB} = \vec{A_1 B_1}$;

9) $\vec{AB_1} = \vec{DC_1}$?

Рис. 3

24. На рисунке 3 изображён куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Верно ли утверждение:

Рис. 3

1) $\vec{AB} \parallel \vec{C_1D_1}$;

2) $\vec{AB} \uparrow\uparrow \vec{DC}$;

3) $\vec{AA_1} \uparrow\uparrow \vec{BB_1}$;

4) $\vec{A_1C_1} \uparrow\downarrow \vec{AC}$;

5) $|\vec{AC}| = |\vec{DC_1}|$;

6) $\vec{AB} = \vec{AD}$;

7) $\vec{AB} = \vec{CD}$;

8) $\vec{AB} = \vec{A_1B_1}$;

9) $\vec{AB_1} = \vec{DC_1}$?

1) $\vec{AB} \parallel \vec{C_1D_1}$

В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ ребро $AB$ параллельно ребру $CD$, а ребро $CD$ в свою очередь параллельно ребру $C_1D_1$. Из свойства транзитивности параллельных прямых следует, что прямая $AB$ параллельна прямой $C_1D_1$. Векторы, лежащие на параллельных прямых, называются коллинеарными (или параллельными). Таким образом, векторы $\vec{AB}$ и $\vec{C_1D_1}$ коллинеарны.
Ответ: Верно.

2) $\vec{AB} \uparrow\uparrow \vec{DC}$

Знак $\uparrow\uparrow$ означает, что векторы сонаправлены (их направления совпадают). Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$ соответствуют противоположным сторонам грани $ABCD$, которая является квадратом. В квадрате противоположные стороны параллельны и равны. Направление от точки $A$ к точке $B$ совпадает с направлением от точки $D$ к точке $C$. Следовательно, векторы $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$ равны, а равные векторы всегда сонаправлены.
Ответ: Верно.

3) $\vec{AA_1} \uparrow\uparrow \vec{BB_1}$

Векторы $\vec{AA_1}$ и $\vec{BB_1}$ соответствуют боковым рёбрам куба $AA_1$ и $BB_1$. Эти рёбра параллельны и равны по длине, а также направлены в одну сторону (от нижнего основания к верхнему). Таким образом, векторы $\vec{AA_1}$ и $\vec{BB_1}$ равны, а значит и сонаправлены.
Ответ: Верно.

4) $\vec{A_1C_1} \uparrow\downarrow \vec{AC}$

Знак $\uparrow\downarrow$ означает, что векторы противоположно направлены. Вектор $\vec{AC}$ — это диагональ нижнего основания $ABCD$, а вектор $\vec{A_1C_1}$ — диагональ верхнего основания $A_1B_1C_1D_1$. Поскольку верхнее основание является результатом параллельного переноса нижнего основания на вектор $\vec{AA_1}$, то и диагональ $\vec{A_1C_1}$ является результатом того же переноса диагонали $\vec{AC}$. Это означает, что векторы равны: $\vec{A_1C_1} = \vec{AC}$. Равные векторы сонаправлены ($\uparrow\uparrow$), а не противоположно направлены.
Ответ: Неверно.

5) $|\vec{AC}| = |\vec{DC_1}|$

Пусть длина ребра куба равна $a$. Модуль вектора $|\vec{AC}|$ — это длина диагонали грани $ABCD$. По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $ADC$, $AC^2 = AD^2 + DC^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$. Следовательно, $|\vec{AC}| = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.
Модуль вектора $|\vec{DC_1}|$ — это длина диагонали грани $DCC_1D_1$. По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $DCC_1$, $DC_1^2 = DC^2 + CC_1^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$. Следовательно, $|\vec{DC_1}| = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.
Так как длины векторов равны, утверждение верно.
Ответ: Верно.

6) $\vec{AB} = \vec{AD}$

Два вектора равны, если они сонаправлены и их длины равны. Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$ соответствуют смежным рёбрам куба. Их длины равны ($|\vec{AB}| = |\vec{AD}| = a$), но их направления различны, так как рёбра $AB$ и $AD$ перпендикулярны. Поскольку векторы не сонаправлены, они не равны.
Ответ: Неверно.

7) $\vec{AB} = \vec{CD}$

Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ лежат на параллельных прямых и имеют одинаковую длину. Однако направление от $A$ к $B$ противоположно направлению от $C$ к $D$. Таким образом, эти векторы являются противоположно направленными: $\vec{AB} = -\vec{CD}$. Следовательно, они не равны.
Ответ: Неверно.

8) $\vec{AB} = \vec{A_1B_1}$

Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{A_1B_1}$ соответствуют параллельным рёбрам куба. Грань $ABB_1A_1$ является квадратом, поэтому $\vec{AB}$ и $\vec{A_1B_1}$ параллельны, равны по длине и сонаправлены. Таким образом, векторы равны.
Ответ: Верно.

9) $\vec{AB_1} = \vec{DC_1}$

Разложим векторы по трём некомпланарным векторам, соответствующим рёбрам куба с общей вершиной $A$: $\vec{AB}$, $\vec{AD}$, $\vec{AA_1}$.
Используя правило параллелограмма, получаем:
$\vec{AB_1} = \vec{AB} + \vec{BB_1}$. Так как $\vec{BB_1} = \vec{AA_1}$, то $\vec{AB_1} = \vec{AB} + \vec{AA_1}$.
$\vec{DC_1} = \vec{DC} + \vec{CC_1}$. Так как $\vec{DC} = \vec{AB}$ и $\vec{CC_1} = \vec{AA_1}$, то $\vec{DC_1} = \vec{AB} + \vec{AA_1}$.
Поскольку правые части выражений равны, то и левые части равны: $\vec{AB_1} = \vec{DC_1}$.
Ответ: Верно.