Номер 18, страница 5 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

18. Точки $B_1$ $(2; -3; 4)$ и $C_1$ $(-6; 1; 2)$ — середины сторон $AC$ и $AB$ треугольника $ABC$ соответственно. Найдите координаты вершин $A$ и $B$, если вершина $C$ имеет координаты $(-3; 4; 6)$.

18. Точки $B_1 (2; -3; 4)$ и $C_1 (-6; 1; 2)$ — середины сторон $AC$ и $AB$ треугольника $ABC$ соответственно. Найдите координаты вершин $A$ и $B$, если вершина $C$ имеет координаты $(-3; 4; 6)$.

Пусть координаты искомых вершин треугольника $A(x_A; y_A; z_A)$ и $B(x_B; y_B; z_B)$. По условию, нам даны координаты вершины $C(-3; 4; 6)$, а также координаты середин сторон: $B_1(2; -3; 4)$ — середина стороны $AC$, и $C_1(-6; 1; 2)$ — середина стороны $AB$.

Координаты $(x_m; y_m; z_m)$ середины отрезка, концы которого имеют координаты $(x_1; y_1; z_1)$ и $(x_2; y_2; z_2)$, находятся по формулам: $x_m = \frac{x_1 + x_2}{2}$, $y_m = \frac{y_1 + y_2}{2}$, $z_m = \frac{z_1 + z_2}{2}$.

1. Нахождение координат вершины A.

Поскольку точка $B_1$ является серединой стороны $AC$, ее координаты равны полусумме соответствующих координат точек $A$ и $C$. Отсюда можно выразить координаты точки $A$ через координаты точек $B_1$ и $C$: $x_A = 2x_{B1} - x_C$
$y_A = 2y_{B1} - y_C$
$z_A = 2z_{B1} - z_C$

Подставим известные значения:

$x_A = 2 \cdot 2 - (-3) = 4 + 3 = 7$
$y_A = 2 \cdot (-3) - 4 = -6 - 4 = -10$
$z_A = 2 \cdot 4 - 6 = 8 - 6 = 2$

Таким образом, координаты вершины $A$ равны $(7; -10; 2)$.

2. Нахождение координат вершины B.

Аналогично, точка $C_1$ является серединой стороны $AB$. Выразим координаты точки $B$ через координаты точек $C_1$ и $A$: $x_B = 2x_{C1} - x_A$
$y_B = 2y_{C1} - y_A$
$z_B = 2z_{C1} - z_A$

Подставим известные координаты $C_1$ и найденные координаты $A$:

$x_B = 2 \cdot (-6) - 7 = -12 - 7 = -19$
$y_B = 2 \cdot 1 - (-10) = 2 + 10 = 12$
$z_B = 2 \cdot 2 - 2 = 4 - 2 = 2$

Следовательно, координаты вершины $B$ равны $(-19; 12; 2)$.

Ответ: Координаты вершины $A(7; -10; 2)$, координаты вершины $B(-19; 12; 2)$.