Номер 15, страница 5 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

15. Найдите координаты точек, симметричных точкам$A (3; -4; 1)$, $D (-2; -9; -8)$ и $F (0; -7; 6)$ относительно:

1) начала координат;

2) плоскости $yz$.

15. Найдите координаты точек, симметричных точкам $A (3; -4; 1)$, $D (-2; -9; -8)$ и $F (0; -7; 6)$ относительно:

1) начала координат;

2) плоскости $yz$.

1) начала координат;

Точка, симметричная точке $M(x; y; z)$ относительно начала координат $O(0; 0; 0)$, имеет координаты $M'(-x; -y; -z)$. Это означает, что для нахождения координат симметричной точки нужно изменить знаки всех ее координат на противоположные.

Найдем координаты точек, симметричных данным точкам относительно начала координат:

• Для точки $A(3; -4; 1)$ симметричной будет точка $A'(-3; -(-4); -1)$, то есть $A'(-3; 4; -1)$.
• Для точки $D(-2; -9; -8)$ симметричной будет точка $D'(-(-2); -(-9); -(-8))$, то есть $D'(2; 9; 8)$.
• Для точки $F(0; -7; 6)$ симметричной будет точка $F'(-0; -(-7); -6)$, то есть $F'(0; 7; -6)$.

Ответ: $A'(-3; 4; -1)$, $D'(2; 9; 8)$, $F'(0; 7; -6)$.

2) плоскости yz.

Точка, симметричная точке $M(x; y; z)$ относительно плоскости $yz$ (которая задается уравнением $x=0$), имеет координаты $M''(-x; y; z)$. Это означает, что для нахождения координат симметричной точки нужно изменить знак только у координаты $x$, а координаты $y$ и $z$ оставить без изменений.

Найдем координаты точек, симметричных данным точкам относительно плоскости $yz$:

• Для точки $A(3; -4; 1)$ симметричной будет точка $A''(-3; -4; 1)$.
• Для точки $D(-2; -9; -8)$ симметричной будет точка $D''(-(-2); -9; -8)$, то есть $D''(2; -9; -8)$.
• Для точки $F(0; -7; 6)$ симметричной будет точка $F''(-0; -7; 6)$, то есть $F''(0; -7; 6)$. Точка $F$ лежит в плоскости $yz$, поэтому она симметрична самой себе относительно этой плоскости.

Ответ: $A''(-3; -4; 1)$, $D''(2; -9; -8)$, $F''(0; -7; 6)$.