Страница 5 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

6. Какие из точек $D(6; 9; -4)$, $E(6; 9; 4)$, $F(5; -7; 4)$, $K(5; -7; 3)$ лежат в одной плоскости, параллельной плоскости $xy$?

6. Какие из точек $D (6; 9; -4)$, $E (6; 9; 4)$, $F (5; -7; 4)$, $K (5; -7; 3)$ лежат в одной плоскости, параллельной плоскости $xy$?

Плоскость, параллельная координатной плоскости $xy$, представляет собой множество точек, у которых аппликата (координата $z$) имеет постоянное значение. Уравнение такой плоскости имеет вид $z = c$, где $c$ — константа.

Таким образом, чтобы точки лежали в одной плоскости, параллельной плоскости $xy$, они должны иметь одинаковую координату $z$.

Проанализируем координаты данных точек:
- У точки $D(6; 9; -4)$ координата $z = -4$.
- У точки $E(6; 9; 4)$ координата $z = 4$.
- У точки $F(5; -7; 4)$ координата $z = 4$.
- У точки $K(5; -7; 3)$ координата $z = 3$.

Сравнивая аппликаты (координаты $z$) всех точек, мы видим, что только у точек $E$ и $F$ они совпадают: $z_E = z_F = 4$.

Следовательно, точки $E$ и $F$ лежат в одной плоскости $z=4$, которая параллельна плоскости $xy$.

Ответ: E и F.

7. Укажите расстояние от точки $D (-4; -2; 1)$ до координатной плоскости:

1) $xy$;

2) $yz$;

3) $xz$.

7. Укажите расстояние от точки $D(-4; -2; 1)$ до координатной плоскости:

1) $xy$;

2) $yz$;

3) $xz$.

Для нахождения расстояния от точки с координатами $D(x; y; z)$ до одной из координатных плоскостей, необходимо взять модуль той координаты, которая не входит в название плоскости.

1) xy;

Расстояние от точки $D(-4; -2; 1)$ до координатной плоскости $xy$ равно модулю ее аппликаты (координаты $z$). Расстояние $d$ вычисляется по формуле: $d = |z|$. Подставив значение координаты $z$ точки $D$, получим: $d = |1| = 1$.
Ответ: 1

2) yz;

Расстояние от точки $D(-4; -2; 1)$ до координатной плоскости $yz$ равно модулю ее абсциссы (координаты $x$). Расстояние $d$ вычисляется по формуле: $d = |x|$. Подставив значение координаты $x$ точки $D$, получим: $d = |-4| = 4$.
Ответ: 4

3) xz.

Расстояние от точки $D(-4; -2; 1)$ до координатной плоскости $xz$ равно модулю ее ординаты (координаты $y$). Расстояние $d$ вычисляется по формуле: $d = |y|$. Подставив значение координаты $y$ точки $D$, получим: $d = |-2| = 2$.
Ответ: 2

8. Найдите расстояние между точками $ A (3; -2; 3) $ и $ B (-1; 2; 5) $.

8. Найдите расстояние между точками $A(3; -2; 3)$ и $B(-1; 2; 5)$.

Для того чтобы найти расстояние между точками A (3; -2; 3) и B (-1; 2; 5) в трехмерном пространстве, используется формула расстояния между двумя точками $A(x_1, y_1, z_1)$ и $B(x_2, y_2, z_2)$:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$

Подставим координаты данных точек в формулу. Для точки A имеем $x_1 = 3$, $y_1 = -2$, $z_1 = 3$. Для точки B имеем $x_2 = -1$, $y_2 = 2$, $z_2 = 5$.

Вычисление расстояния $d$, которое также обозначается как $|AB|$:

$d = \sqrt{(-1 - 3)^2 + (2 - (-2))^2 + (5 - 3)^2}$

Проведем вычисления по шагам. Сначала найдем значения выражений в скобках:

$-1 - 3 = -4$

$2 - (-2) = 2 + 2 = 4$

$5 - 3 = 2$

Теперь подставим эти результаты обратно в формулу:

$d = \sqrt{(-4)^2 + 4^2 + 2^2}$

Возведем каждое число в квадрат:

$d = \sqrt{16 + 16 + 4}$

Сложим числа под знаком корня:

$d = \sqrt{36}$

Наконец, извлечем квадратный корень:

$d = 6$

Таким образом, расстояние между точками A и B равно 6.

Ответ: 6

9. Найдите расстояние от точки $D (-2; 3; 8)$ до оси абсцисс.

9. Найдите расстояние от точки $D(-2; 3; 8)$ до оси абсцисс.

Чтобы найти расстояние от точки $D(-2; 3; 8)$ до оси абсцисс (оси $Ox$), необходимо найти длину перпендикуляра, опущенного из этой точки на ось $Ox$.

Проекцией точки $D(x; y; z)$ на ось абсцисс является точка $P$ с координатами $(x; 0; 0)$. Для нашей точки $D(-2; 3; 8)$ ее проекция на ось абсцисс будет точка $P(-2; 0; 0)$.

Расстояние от точки $D$ до оси абсцисс равно расстоянию между точкой $D$ и ее проекцией $P$. Вычислим это расстояние по формуле расстояния между двумя точками в пространстве:

$d = \sqrt{(x_D - x_P)^2 + (y_D - y_P)^2 + (z_D - z_P)^2}$

Подставим координаты точек $D(-2; 3; 8)$ и $P(-2; 0; 0)$:

$d = \sqrt{(-2 - (-2))^2 + (3 - 0)^2 + (8 - 0)^2}$

$d = \sqrt{(0)^2 + (3)^2 + (8)^2}$

$d = \sqrt{0 + 9 + 64}$

$d = \sqrt{73}$

В общем виде, расстояние $d$ от точки с координатами $(x_0; y_0; z_0)$ до оси абсцисс вычисляется по формуле $d = \sqrt{y_0^2 + z_0^2}$. Для точки $D(-2; 3; 8)$ получаем:

$d = \sqrt{3^2 + 8^2} = \sqrt{9 + 64} = \sqrt{73}$

Ответ: $\sqrt{73}$

10. Расстояние между точками $A (4; -5; 2)$ и $B (1; y; -4)$ равно 7. Найдите значение $y$.

10. Расстояние между точками $A (4; -5; 2)$ и $B (1; y; -4)$ равно 7. Найдите значение $y$.

Расстояние $d$ между двумя точками в трехмерном пространстве $A(x_1; y_1; z_1)$ и $B(x_2; y_2; z_2)$ вычисляется по формуле:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$

В данном случае нам известны координаты точек $A(4; -5; 2)$ и $B(1; y; -4)$, а также расстояние между ними, равное 7. Подставим эти значения в формулу:

$7 = \sqrt{(1 - 4)^2 + (y - (-5))^2 + (-4 - 2)^2}$

Упростим выражение под корнем:

$7 = \sqrt{(-3)^2 + (y + 5)^2 + (-6)^2}$

$7 = \sqrt{9 + (y + 5)^2 + 36}$

$7 = \sqrt{45 + (y + 5)^2}$

Чтобы найти $y$, возведем обе части уравнения в квадрат:

$7^2 = 45 + (y + 5)^2$

$49 = 45 + (y + 5)^2$

Теперь выразим $(y + 5)^2$:

$(y + 5)^2 = 49 - 45$

$(y + 5)^2 = 4$

Извлечем квадратный корень из обеих частей. Уравнение имеет два решения:

1) $y + 5 = 2$

$y = 2 - 5$

$y_1 = -3$

2) $y + 5 = -2$

$y = -2 - 5$

$y_2 = -9$

Следовательно, существуют два возможных значения для $y$.

Ответ: $y = -3$ или $y = -9$.

11. Найдите точку, принадлежащую оси ординат и равноудалённую от точек $A(-2; 3; 1)$ и $B(1; 2; -4)$.

11. Найдите точку, принадлежащую оси ординат и равноудалённую от точек A $(-2; 3; 1)$ и B $(1; 2; -4)$.

Пусть искомая точка M принадлежит оси ординат (оси OY). Это означает, что ее абсцисса и аппликата равны нулю. Таким образом, координаты точки M можно записать как $(0; y; 0)$.

По условию, точка M равноудалена от точек A$(-2; 3; 1)$ и B$(1; 2; -4)$. Это значит, что расстояние от M до A равно расстоянию от M до B, то есть $|MA| = |MB|$.

Для удобства вычислений будем использовать квадраты расстояний: $|MA|^2 = |MB|^2$.

Квадрат расстояния между двумя точками $P_1(x_1, y_1, z_1)$ и $P_2(x_2, y_2, z_2)$ вычисляется по формуле: $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2$

Найдем квадрат расстояния $|MA|^2$: $|MA|^2 = (-2 - 0)^2 + (3 - y)^2 + (1 - 0)^2 = (-2)^2 + (3 - y)^2 + 1^2 = 4 + (9 - 6y + y^2) + 1 = y^2 - 6y + 14$.

Найдем квадрат расстояния $|MB|^2$: $|MB|^2 = (1 - 0)^2 + (2 - y)^2 + (-4 - 0)^2 = 1^2 + (2 - y)^2 + (-4)^2 = 1 + (4 - 4y + y^2) + 16 = y^2 - 4y + 21$.

Теперь приравняем полученные выражения: $|MA|^2 = |MB|^2$ $y^2 - 6y + 14 = y^2 - 4y + 21$

Решим это уравнение относительно $y$: $y^2 - 6y - y^2 + 4y = 21 - 14$ $-2y = 7$ $y = -\frac{7}{2}$ $y = -3.5$

Следовательно, искомая точка на оси ординат имеет координаты $(0; -3.5; 0)$.

Ответ: $(0; -3.5; 0)$

12. Найдите координаты середины отрезка $FK$, если $F(-2; 3; 4)$, $K(6; 1; -2)$.

12. Найдите координаты середины отрезка FK, если $F(-2; 3; 4)$, $K(6; 1; -2)$.

Для нахождения координат середины отрезка в трехмерном пространстве необходимо вычислить среднее арифметическое соответствующих координат его концов. Пусть C($x_c$; $y_c$; $z_c$) — середина отрезка FK с концами в точках F($x_F$; $y_F$; $z_F$) и K($x_K$; $y_K$; $z_K$). Координаты точки C находятся по следующим формулам:

$x_c = \frac{x_F + x_K}{2}$

$y_c = \frac{y_F + y_K}{2}$

$z_c = \frac{z_F + z_K}{2}$

В данном случае координаты точек равны F(–2; 3; 4) и K(6; 1; –2). Подставим эти значения в формулы:

1. Найдем координату $x$ середины отрезка:

$x_c = \frac{-2 + 6}{2} = \frac{4}{2} = 2$

2. Найдем координату $y$ середины отрезка:

$y_c = \frac{3 + 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$

3. Найдем координату $z$ середины отрезка:

$z_c = \frac{4 + (-2)}{2} = \frac{4 - 2}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Следовательно, координаты середины отрезка FK равны (2; 2; 1).

Ответ: (2; 2; 1).

13. Точка $M$ — середина отрезка $AB$. Найдите координаты точки $B$, если $A (-3; 8; 5)$, $M (-5; 4; -6)$.

13. Точка $M$ — середина отрезка $AB$. Найдите координаты точки $B$, если $A (-3; 8; 5)$, $M (-5; 4; -6)$.

Поскольку точка M является серединой отрезка AB, ее координаты равны среднему арифметическому координат точек A и B.

Пусть координаты точки A — $(x_A; y_A; z_A)$, точки B — $(x_B; y_B; z_B)$, а середины отрезка, точки M — $(x_M; y_M; z_M)$.

Формулы для нахождения координат середины отрезка:

$x_M = \frac{x_A + x_B}{2}$

$y_M = \frac{y_A + y_B}{2}$

$z_M = \frac{z_A + z_B}{2}$

Из этих формул можно выразить координаты точки B:

$x_B = 2x_M - x_A$

$y_B = 2y_M - y_A$

$z_B = 2z_M - z_A$

Подставим известные координаты точек A $(-3; 8; 5)$ и M $(-5; 4; -6)$ в эти формулы:

$x_B = 2 \cdot (-5) - (-3) = -10 + 3 = -7$

$y_B = 2 \cdot 4 - 8 = 8 - 8 = 0$

$z_B = 2 \cdot (-6) - 5 = -12 - 5 = -17$

Следовательно, координаты точки B равны $(-7; 0; -17)$.

Ответ: B(-7; 0; -17)

14. Точки A $(5; -3; 4)$ и D $(-3; 1; -2)$ симметричны относительно точки C. Найдите координаты точки C.

14. Точки $A$ $(5; -3; 4)$ и $D$ $(-3; 1; -2)$ симметричны относительно точки $C$. Найдите координаты точки $C$.

Если точки A и D симметричны относительно точки C, то точка C является серединой отрезка AD.

Координаты середины отрезка вычисляются как среднее арифметическое соответствующих координат его концов. Пусть даны точки A с координатами $(x_A; y_A; z_A)$ и D с координатами $(x_D; y_D; z_D)$. Тогда координаты точки C $(x_C; y_C; z_C)$, являющейся серединой отрезка AD, находятся по формулам:

$x_C = \frac{x_A + x_D}{2}$

$y_C = \frac{y_A + y_D}{2}$

$z_C = \frac{z_A + z_D}{2}$

Нам даны координаты точек A(5; -3; 4) и D(-3; 1; -2). Подставим их в формулы для нахождения координат точки C:

Для координаты x:
$x_C = \frac{5 + (-3)}{2} = \frac{5 - 3}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Для координаты y:
$y_C = \frac{-3 + 1}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Для координаты z:
$z_C = \frac{4 + (-2)}{2} = \frac{4 - 2}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Таким образом, точка C имеет координаты (1; -1; 1).

Ответ: C(1; -1; 1)

15. Найдите координаты точек, симметричных точкам$A (3; -4; 1)$, $D (-2; -9; -8)$ и $F (0; -7; 6)$ относительно:

1) начала координат;

2) плоскости $yz$.

15. Найдите координаты точек, симметричных точкам $A (3; -4; 1)$, $D (-2; -9; -8)$ и $F (0; -7; 6)$ относительно:

1) начала координат;

2) плоскости $yz$.

1) начала координат;

Точка, симметричная точке $M(x; y; z)$ относительно начала координат $O(0; 0; 0)$, имеет координаты $M'(-x; -y; -z)$. Это означает, что для нахождения координат симметричной точки нужно изменить знаки всех ее координат на противоположные.

Найдем координаты точек, симметричных данным точкам относительно начала координат:

• Для точки $A(3; -4; 1)$ симметричной будет точка $A'(-3; -(-4); -1)$, то есть $A'(-3; 4; -1)$.
• Для точки $D(-2; -9; -8)$ симметричной будет точка $D'(-(-2); -(-9); -(-8))$, то есть $D'(2; 9; 8)$.
• Для точки $F(0; -7; 6)$ симметричной будет точка $F'(-0; -(-7); -6)$, то есть $F'(0; 7; -6)$.

Ответ: $A'(-3; 4; -1)$, $D'(2; 9; 8)$, $F'(0; 7; -6)$.

2) плоскости yz.

Точка, симметричная точке $M(x; y; z)$ относительно плоскости $yz$ (которая задается уравнением $x=0$), имеет координаты $M''(-x; y; z)$. Это означает, что для нахождения координат симметричной точки нужно изменить знак только у координаты $x$, а координаты $y$ и $z$ оставить без изменений.

Найдем координаты точек, симметричных данным точкам относительно плоскости $yz$:

• Для точки $A(3; -4; 1)$ симметричной будет точка $A''(-3; -4; 1)$.
• Для точки $D(-2; -9; -8)$ симметричной будет точка $D''(-(-2); -9; -8)$, то есть $D''(2; -9; -8)$.
• Для точки $F(0; -7; 6)$ симметричной будет точка $F''(-0; -7; 6)$, то есть $F''(0; -7; 6)$. Точка $F$ лежит в плоскости $yz$, поэтому она симметрична самой себе относительно этой плоскости.

Ответ: $A''(-3; -4; 1)$, $D''(2; -9; -8)$, $F''(0; -7; 6)$.

16. Найдите координаты точки, которая делит отрезок $MK$ в отношении $3 : 1$, считая от точки $M$, если $M (3; -5; 1)$, $K (-1; 7; 5)$.

16. Найдите координаты точки, которая делит отрезок $MK$ в отношении $3 : 1$, считая от точки $M$, если $M(3; -5; 1)$, $K(-1; 7; 5)$.

Для нахождения координат точки, которая делит отрезок в заданном отношении, воспользуемся формулами деления отрезка в пространстве.

Пусть даны две точки: M с координатами ($x_1$; $y_1$; $z_1$) и K с координатами ($x_2$; $y_2$; $z_2$). Пусть точка C(x; y; z) делит отрезок MK в отношении m : n, считая от точки M.

Тогда координаты точки C вычисляются по формулам:
$x = \frac{n \cdot x_1 + m \cdot x_2}{m+n}$
$y = \frac{n \cdot y_1 + m \cdot y_2}{m+n}$
$z = \frac{n \cdot z_1 + m \cdot z_2}{m+n}$

В нашем случае даны точки M(3; -5; 1) и K(-1; 7; 5). Отношение, в котором точка делит отрезок, равно 3 : 1. Это означает, что $m=3$ и $n=1$.

Подставим известные значения в формулы:
$x_1 = 3$, $y_1 = -5$, $z_1 = 1$
$x_2 = -1$, $y_2 = 7$, $z_2 = 5$
$m = 3$, $n = 1$

Вычислим каждую координату искомой точки:

Координата x:
$x = \frac{1 \cdot 3 + 3 \cdot (-1)}{3+1} = \frac{3 - 3}{4} = \frac{0}{4} = 0$

Координата y:
$y = \frac{1 \cdot (-5) + 3 \cdot 7}{3+1} = \frac{-5 + 21}{4} = \frac{16}{4} = 4$

Координата z:
$z = \frac{1 \cdot 1 + 3 \cdot 5}{3+1} = \frac{1 + 15}{4} = \frac{16}{4} = 4$

Следовательно, искомая точка имеет координаты (0; 4; 4).

Ответ: (0; 4; 4)

17. Найдите координаты вершины $D$ параллелограмма $ABCD$, если $A (3; -4; 5)$, $B (-6; 1; 6)$, $C (-5; 2; 1)$.

17. Найдите координаты вершины $D$ параллелограмма $ABCD$, если $A (3; -4; 5)$, $B (-6; 1; 6)$, $C (-5; 2; 1)$.

Для нахождения координат четвертой вершины параллелограмма ABCD можно воспользоваться одним из его свойств. Наиболее удобным в данном случае является свойство равенства векторов, образующих противоположные стороны, или свойство того, что диагонали параллелограмма пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.

Способ 1: Использование векторов

В параллелограмме ABCD вектор $\vec{AD}$ равен вектору $\vec{BC}$.

Даны координаты трех вершин: A(3; -4; 5), B(-6; 1; 6), C(-5; 2; 1). Обозначим координаты искомой вершины D как $(x; y; z)$.

1. Найдем координаты вектора $\vec{BC}$, вычитая из координат точки C соответствующие координаты точки B:

$\vec{BC} = (x_C - x_B; y_C - y_B; z_C - z_B) = (-5 - (-6); 2 - 1; 1 - 6) = (1; 1; -5)$

2. Аналогично найдем координаты вектора $\vec{AD}$, вычитая из координат точки D соответствующие координаты точки A:

$\vec{AD} = (x - x_A; y - y_A; z - z_A) = (x - 3; y - (-4); z - 5) = (x - 3; y + 4; z - 5)$

3. Так как векторы $\vec{AD}$ и $\vec{BC}$ равны, их соответствующие координаты также равны. Приравняем их и составим систему уравнений:

$\begin{cases} x - 3 = 1 \\ y + 4 = 1 \\ z - 5 = -5 \end{cases}$

4. Решим полученную систему уравнений:

$x = 1 + 3 = 4$

$y = 1 - 4 = -3$

$z = -5 + 5 = 0$

Таким образом, координаты вершины D: (4; -3; 0).

Способ 2: Использование середины диагоналей

Диагонали параллелограмма AC и BD пересекаются в одной точке O, которая является серединой каждой из них.

1. Найдем координаты середины O диагонали AC:

$x_O = \frac{x_A + x_C}{2} = \frac{3 + (-5)}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

$y_O = \frac{y_A + y_C}{2} = \frac{-4 + 2}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

$z_O = \frac{z_A + z_C}{2} = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3$

Таким образом, точка пересечения диагоналей O имеет координаты (-1; -1; 3).

2. Точка O также является серединой диагонали BD. Запишем формулы для нахождения середины отрезка BD, где D(x; y; z):

$x_O = \frac{x_B + x}{2} \implies -1 = \frac{-6 + x}{2}$

$y_O = \frac{y_B + y}{2} \implies -1 = \frac{1 + y}{2}$

$z_O = \frac{z_B + z}{2} \implies 3 = \frac{6 + z}{2}$

3. Решим полученные уравнения относительно x, y, z:

$-2 = -6 + x \implies x = -2 + 6 = 4$

$-2 = 1 + y \implies y = -2 - 1 = -3$

$6 = 6 + z \implies z = 6 - 6 = 0$

Координаты вершины D: (4; -3; 0).

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: D(4; -3; 0).

18. Точки $B_1$ $(2; -3; 4)$ и $C_1$ $(-6; 1; 2)$ — середины сторон $AC$ и $AB$ треугольника $ABC$ соответственно. Найдите координаты вершин $A$ и $B$, если вершина $C$ имеет координаты $(-3; 4; 6)$.

18. Точки $B_1 (2; -3; 4)$ и $C_1 (-6; 1; 2)$ — середины сторон $AC$ и $AB$ треугольника $ABC$ соответственно. Найдите координаты вершин $A$ и $B$, если вершина $C$ имеет координаты $(-3; 4; 6)$.

Пусть координаты искомых вершин треугольника $A(x_A; y_A; z_A)$ и $B(x_B; y_B; z_B)$. По условию, нам даны координаты вершины $C(-3; 4; 6)$, а также координаты середин сторон: $B_1(2; -3; 4)$ — середина стороны $AC$, и $C_1(-6; 1; 2)$ — середина стороны $AB$.

Координаты $(x_m; y_m; z_m)$ середины отрезка, концы которого имеют координаты $(x_1; y_1; z_1)$ и $(x_2; y_2; z_2)$, находятся по формулам: $x_m = \frac{x_1 + x_2}{2}$, $y_m = \frac{y_1 + y_2}{2}$, $z_m = \frac{z_1 + z_2}{2}$.

1. Нахождение координат вершины A.

Поскольку точка $B_1$ является серединой стороны $AC$, ее координаты равны полусумме соответствующих координат точек $A$ и $C$. Отсюда можно выразить координаты точки $A$ через координаты точек $B_1$ и $C$: $x_A = 2x_{B1} - x_C$
$y_A = 2y_{B1} - y_C$
$z_A = 2z_{B1} - z_C$

Подставим известные значения:

$x_A = 2 \cdot 2 - (-3) = 4 + 3 = 7$
$y_A = 2 \cdot (-3) - 4 = -6 - 4 = -10$
$z_A = 2 \cdot 4 - 6 = 8 - 6 = 2$

Таким образом, координаты вершины $A$ равны $(7; -10; 2)$.

2. Нахождение координат вершины B.

Аналогично, точка $C_1$ является серединой стороны $AB$. Выразим координаты точки $B$ через координаты точек $C_1$ и $A$: $x_B = 2x_{C1} - x_A$
$y_B = 2y_{C1} - y_A$
$z_B = 2z_{C1} - z_A$

Подставим известные координаты $C_1$ и найденные координаты $A$:

$x_B = 2 \cdot (-6) - 7 = -12 - 7 = -19$
$y_B = 2 \cdot 1 - (-10) = 2 + 10 = 12$
$z_B = 2 \cdot 2 - 2 = 4 - 2 = 2$

Следовательно, координаты вершины $B$ равны $(-19; 12; 2)$.

Ответ: Координаты вершины $A(7; -10; 2)$, координаты вершины $B(-19; 12; 2)$.

19. Даны точки $A (3; -1; -2)$, $B (-5; 7; 4)$, $C (1; 5; 2)$. Найдите среднюю линию $MN$ треугольника $ABC$, где точки $M$ и $N$ — середины сторон $AC$ и $BC$ соответственно.

19. Даны точки $A (3; -1; -2)$, $B (-5; 7; 4)$, $C (1; 5; 2)$. Найдите среднюю линию $MN$ треугольника $ABC$, где точки $M$ и $N$ — середины сторон $AC$ и $BC$ соответственно.

Для нахождения средней линии MN треугольника ABC, сначала найдем координаты ее конечных точек M и N. По условию, M — середина стороны AC, а N — середина стороны BC.

Координаты середины отрезка находятся как полусумма соответствующих координат его концов. Найдем координаты точки M, используя координаты точек A(3; -1; -2) и C(1; 5; 2):

$M = \left( \frac{x_A + x_C}{2}; \frac{y_A + y_C}{2}; \frac{z_A + z_C}{2} \right) = \left( \frac{3 + 1}{2}; \frac{-1 + 5}{2}; \frac{-2 + 2}{2} \right) = \left( \frac{4}{2}; \frac{4}{2}; \frac{0}{2} \right) = (2; 2; 0)$

Теперь найдем координаты точки N, используя координаты точек B(-5; 7; 4) и C(1; 5; 2):

$N = \left( \frac{x_B + x_C}{2}; \frac{y_B + y_C}{2}; \frac{z_B + z_C}{2} \right) = \left( \frac{-5 + 1}{2}; \frac{7 + 5}{2}; \frac{4 + 2}{2} \right) = \left( \frac{-4}{2}; \frac{12}{2}; \frac{6}{2} \right) = (-2; 6; 3)$

Длина средней линии MN — это расстояние между точками M(2; 2; 0) и N(-2; 6; 3). Вычислим его по формуле расстояния между двумя точками в пространстве:

$|MN| = \sqrt{(x_N - x_M)^2 + (y_N - y_M)^2 + (z_N - z_M)^2}$

Подставим координаты точек M и N в формулу:

$|MN| = \sqrt{(-2 - 2)^2 + (6 - 2)^2 + (3 - 0)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 16 + 9} = \sqrt{41}$

Ответ: $\sqrt{41}$

20. Найдите координаты точек $A$ и $B$ и отрезок $AB$, если точка $A$ принадлежит оси $z$, точка $B$ лежит в плоскости $xy$ и точка $C(-3; 1; -4)$ — середина отрезка $AB$.

20. Найдите координаты точек $A$ и $B$ и отрезок $AB$, если точка $A$ принадлежит оси $z$, точка $B$ лежит в плоскости $xy$ и точка $C(-3; 1; -4)$ — середина отрезка $AB$.

Обозначим координаты искомых точек как $A(x_A, y_A, z_A)$ и $B(x_B, y_B, z_B)$.

Согласно условию задачи, точка $A$ принадлежит оси $z$. Это означает, что ее абсцисса и ордината равны нулю: $x_A = 0$, $y_A = 0$. Таким образом, координаты точки $A$ имеют вид $(0, 0, z_A)$.

Точка $B$ лежит в плоскости $xy$. Это означает, что ее аппликата равна нулю: $z_B = 0$. Таким образом, координаты точки $B$ имеют вид $(x_B, y_B, 0)$.

Точка $C(-3; 1; -4)$ является серединой отрезка $AB$. Координаты середины отрезка вычисляются как среднее арифметическое соответствующих координат его концов. Запишем формулы для координат точки $C$:
$x_C = \frac{x_A + x_B}{2}$
$y_C = \frac{y_A + y_B}{2}$
$z_C = \frac{z_A + z_B}{2}$

Координаты точек А и В

Подставим известные значения в формулы для координат середины отрезка и найдем неизвестные координаты $x_B, y_B, z_A$.

Для координаты $x$:
$-3 = \frac{0 + x_B}{2}$
$x_B = -3 \cdot 2 = -6$

Для координаты $y$:
$1 = \frac{0 + y_B}{2}$
$y_B = 1 \cdot 2 = 2$

Для координаты $z$:
$-4 = \frac{z_A + 0}{2}$
$z_A = -4 \cdot 2 = -8$

Следовательно, координаты точки $A$ равны $(0, 0, -8)$, а координаты точки $B$ равны $(-6, 2, 0)$.
Ответ: $A(0; 0; -8)$, $B(-6; 2; 0)$.

Отрезок АВ

Длину отрезка $AB$ (или расстояние между точками $A$ и $B$) найдем по формуле расстояния в трехмерном пространстве:
$|AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}$

Подставим найденные координаты точек $A(0, 0, -8)$ и $B(-6, 2, 0)$ в формулу:
$|AB| = \sqrt{(-6 - 0)^2 + (2 - 0)^2 + (0 - (-8))^2}$
$|AB| = \sqrt{(-6)^2 + 2^2 + 8^2}$
$|AB| = \sqrt{36 + 4 + 64}$
$|AB| = \sqrt{104}$

Упростим корень из 104:
$|AB| = \sqrt{4 \cdot 26} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{26} = 2\sqrt{26}$.
Ответ: $2\sqrt{26}$.