Страница 4 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

1. Точки $A$, $B$, $C$ и $D$ расположены в прямоугольной системе координат так, как показано на рисунке 1. Расстояние от каждой из точек $A$, $B$, $C$ и $D$ до начала координат равно 3. Найдите координаты этих точек.

Рис. 1

1. Точки А, В, С и D расположены в прямоугольной системе координат так, как показано на рисунке 1. Расстояние от каждой из точек А, В, С и D до начала координат равно 3. Найдите координаты этих точек.

Рис. 1

В прямоугольной системе координат начало координат O имеет координаты $(0, 0, 0)$. Расстояние от произвольной точки $P(x, y, z)$ до начала координат вычисляется по формуле $d = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$. По условию задачи, расстояние от каждой из точек A, B, C и D до начала координат равно 3.

Точка A
Точка A лежит на оси абсцисс (Ox). Следовательно, её координаты по осям Oy и Oz равны нулю: $A(x_A, 0, 0)$. Из рисунка видно, что точка A находится на отрицательной части оси Ox, поэтому $x_A < 0$. Расстояние от точки A до начала координат равно 3: $\sqrt{x_A^2 + 0^2 + 0^2} = 3$ $\sqrt{x_A^2} = 3$ $|x_A| = 3$ Так как $x_A < 0$, получаем $x_A = -3$. Координаты точки A: $(-3, 0, 0)$.
Ответ: $A(-3, 0, 0)$.

Точка B
Точка B лежит на оси ординат (Oy). Следовательно, её координаты по осям Ox и Oz равны нулю: $B(0, y_B, 0)$. Из рисунка видно, что точка B находится на положительной части оси Oy, поэтому $y_B > 0$. Расстояние от точки B до начала координат равно 3: $\sqrt{0^2 + y_B^2 + 0^2} = 3$ $\sqrt{y_B^2} = 3$ $|y_B| = 3$ Так как $y_B > 0$, получаем $y_B = 3$. Координаты точки B: $(0, 3, 0)$.
Ответ: $B(0, 3, 0)$.

Точка C
Точка C лежит на оси ординат (Oy). Следовательно, её координаты по осям Ox и Oz равны нулю: $C(0, y_C, 0)$. Из рисунка видно, что точка C находится на отрицательной части оси Oy, поэтому $y_C < 0$. Расстояние от точки C до начала координат равно 3: $\sqrt{0^2 + y_C^2 + 0^2} = 3$ $\sqrt{y_C^2} = 3$ $|y_C| = 3$ Так как $y_C < 0$, получаем $y_C = -3$. Координаты точки C: $(0, -3, 0)$.
Ответ: $C(0, -3, 0)$.

Точка D
Точка D лежит на оси аппликат (Oz). Следовательно, её координаты по осям Ox и Oy равны нулю: $D(0, 0, z_D)$. Из рисунка видно, что точка D находится на отрицательной части оси Oz, поэтому $z_D < 0$. Расстояние от точки D до начала координат равно 3: $\sqrt{0^2 + 0^2 + z_D^2} = 3$ $\sqrt{z_D^2} = 3$ $|z_D| = 3$ Так как $z_D < 0$, получаем $z_D = -3$. Координаты точки D: $(0, 0, -3)$.
Ответ: $D(0, 0, -3)$.

2. Куб $ABCOA_1B_1C_1O_1$ расположен в прямоугольной системе координат так, как показано на рисунке 2. Ребро куба равно 4. Найдите координаты вершин куба.

Рис. 2

2. Куб $ABCOA_1B_1C_1O_1$ расположен в прямоугольной системе координат так, как показано на рисунке 2. Ребро куба равно 4. Найдите координаты вершин куба.

Рис. 2

Согласно условию задачи, дан куб $ABCOA_1B_1C_1O_1$ с ребром, равным 4. Куб расположен в прямоугольной системе координат, начало которой, точка $O$, совпадает с одной из его вершин. Из рисунка видно, что ребра $OA$, $OC$ и $OO_1$ лежат на осях координат.

• Ось $Ox$ проходит через ребро $OA$.
• Ось $Oy$ проходит через ребро $OC$.
• Ось $Oz$ проходит через ребро, соединяющее верхнее и нижнее основания (но направлена вверх от точки $O$, а куб расположен под плоскостью $Oxy$).

Длина каждого ребра куба равна 4. Найдем координаты каждой вершины.

Вершина O
Точка $O$ является началом координат, поэтому ее координаты $(0, 0, 0)$.

Вершина A
Вершина $A$ лежит на оси $Ox$ на расстоянии 4 от начала координат. Следовательно, ее координаты $(4, 0, 0)$.

Вершина C
Вершина $C$ лежит на оси $Oy$ на расстоянии 4 от начала координат. Следовательно, ее координаты $(0, 4, 0)$.

Вершина B
Вершина $B$ лежит в плоскости $Oxy$. Ее координаты по осям $x$ и $y$ соответствуют координатам вершин $A$ и $C$. Таким образом, координаты вершины $B$ равны $(4, 4, 0)$.

Вершина O₁
Вершина $O_1$ лежит на оси $Oz$ под началом координат. Так как ребро куба равно 4, а ось $Oz$ направлена вверх, координата $z$ для этой точки будет отрицательной. Координаты вершины $O_1$ равны $(0, 0, -4)$.

Вершина A₁
Вершина $A_1$ является проекцией вершины $A$ на нижнее основание ($z=-4$). Она имеет те же координаты $x$ и $y$, что и вершина $A$. Следовательно, ее координаты $(4, 0, -4)$.

Вершина C₁
Вершина $C_1$ является проекцией вершины $C$ на нижнее основание ($z=-4$). Она имеет те же координаты $x$ и $y$, что и вершина $C$. Следовательно, ее координаты $(0, 4, -4)$.

Вершина B₁
Вершина $B_1$ является проекцией вершины $B$ на нижнее основание ($z=-4$). Она имеет те же координаты $x$ и $y$, что и вершина $B$. Следовательно, ее координаты $(4, 4, -4)$.

Ответ: $O(0, 0, 0)$, $A(4, 0, 0)$, $C(0, 4, 0)$, $B(4, 4, 0)$, $O_1(0, 0, -4)$, $A_1(4, 0, -4)$, $C_1(0, 4, -4)$, $B_1(4, 4, -4)$.

3. Определите, лежит ли данная точка на координатной оси, и в случае утвердительного ответа укажите эту ось:

1) D $(0; -6; 8)$;

2) E $(0; 0; 12)$;

3) F $(3,6; 0; -4,5)$;

4) M $(0; -1,4; 0)$;

5) K $(-2; 3; -4)$;

6) F $(0; 0; -20)$.

3. Определите, лежит ли данная точка на координатной оси, и в случае утвердительного ответа укажите эту ось:

1) $D (0; -6; 8);$

2) $E (0; 0; 12);$

3) $F (3,6; 0; -4,5);$

4) $M (0; -1,4; 0);$

5) $K (-2; 3; -4);$

6) $F (0; 0; -20).$

Для того чтобы точка лежала на одной из координатных осей в трехмерном пространстве, две из ее трех координат должны быть равны нулю.

• Точка лежит на оси абсцисс ($Ox$), если ее координаты имеют вид $(x; 0; 0)$.
• Точка лежит на оси ординат ($Oy$), если ее координаты имеют вид $(0; y; 0)$.
• Точка лежит на оси аппликат ($Oz$), если ее координаты имеют вид $(0; 0; z)$.

1) D (0; –6; 8)

У точки D только одна координата равна нулю (координата $x$), а две другие ($y = -6$ и $z = 8$) отличны от нуля. Следовательно, точка D не лежит на координатной оси. Она принадлежит координатной плоскости $Oyz$.

Ответ: не лежит на координатной оси.

2) E (0; 0; 12)

У точки E две координаты равны нулю ($x = 0$ и $y = 0$), а третья координата $z = 12$ не равна нулю. Это соответствует условию принадлежности точки оси аппликат ($Oz$).

Ответ: лежит на оси $Oz$ (оси аппликат).

3) F (3,6; 0; –4,5)

У точки F только одна координата равна нулю (координата $y$), а две другие ($x = 3,6$ и $z = -4,5$) не равны нулю. Следовательно, точка F не лежит на координатной оси. Она принадлежит координатной плоскости $Ox-z$.

Ответ: не лежит на координатной оси.

4) M (0; –1,4; 0)

У точки M две координаты равны нулю ($x = 0$ и $z = 0$), а третья координата $y = -1,4$ не равна нулю. Это соответствует условию принадлежности точки оси ординат ($Oy$).

Ответ: лежит на оси $Oy$ (оси ординат).

5) K (–2; 3; –4)

У точки K все три координаты отличны от нуля. Следовательно, точка K не лежит ни на одной из координатных осей.

Ответ: не лежит на координатной оси.

6) F (0; 0; –20)

У точки F две координаты равны нулю ($x = 0$ и $y = 0$), а третья координата $z = -20$ не равна нулю. Это соответствует условию принадлежности точки оси аппликат ($Oz$).

Ответ: лежит на оси $Oz$ (оси аппликат).

4. Определите, принадлежит ли данная точка координатной плоскости, и в случае утвердительного ответа укажите эту плоскость:

1) A $(8; -7; 13)$;

2) B $(6; -2; 0)$;

3) C $(-1; 0; 1)$;

4) D $(0; 0; 5)$;

5) M $(17; -18; 15)$;

6) K $(0; 6; -6)$.

4. Определите, принадлежит ли данная точка координатной плоскости, и в случае утвердительного ответа укажите эту плоскость:

1) A $(8; -7; 13)$;

2) B $(6; -2; 0)$;

3) C $(-1; 0; 1)$;

4) D $(0; 0; 5)$;

5) M $(17; -18; 15)$;

6) K $(0; 6; -6)$.

Для определения принадлежности точки координатной плоскости необходимо проанализировать ее координаты $(x; y; z)$.

• Точка принадлежит плоскости $Oxy$, если ее координата $z = 0$.
• Точка принадлежит плоскости $Oxz$, если ее координата $y = 0$.
• Точка принадлежит плоскости $Oyz$, если ее координата $x = 0$.

Если все три координаты точки отличны от нуля, то она не принадлежит ни одной из координатных плоскостей.

1) A (8; −7; 13);

У точки A все три координаты ($x=8, y=−7, z=13$) отличны от нуля. Следовательно, точка A не принадлежит ни одной из координатных плоскостей.

Ответ: Точка A не принадлежит координатной плоскости.

2) B (6; −2; 0);

У точки B координата $z = 0$. Это означает, что точка лежит в координатной плоскости $Oxy$.

Ответ: Да, принадлежит плоскости $Oxy$.

3) C (−1; 0; 1);

У точки C координата $y = 0$. Это означает, что точка лежит в координатной плоскости $Oxz$.

Ответ: Да, принадлежит плоскости $Oxz$.

4) D (0; 0; 5);

У точки D две координаты равны нулю: $x = 0$ и $y = 0$. Это означает, что точка лежит на оси $Oz$. Ось $Oz$ является линией пересечения двух координатных плоскостей: $Oyz$ (где $x=0$) и $Oxz$ (где $y=0$).

Ответ: Да, принадлежит плоскостям $Oyz$ и $Oxz$.

5) M (17; −18; 15);

У точки M все три координаты ($x=17, y=−18, z=15$) отличны от нуля. Следовательно, точка M не принадлежит ни одной из координатных плоскостей.

Ответ: Точка M не принадлежит координатной плоскости.

6) K (0; 6; −6).

У точки K координата $x = 0$. Это означает, что точка лежит в координатной плоскости $Oyz$.

Ответ: Да, принадлежит плоскости $Oyz$.

5. Какие из точек $M (8; -2; 1)$, $N (8; 2; 1)$, $P (-4; -2; 1)$, $K (4; 2; -1)$ лежат на одной прямой, параллельной оси абсцисс?

5. Какие из точек $M (8; -2; 1)$, $N (8; 2; 1)$, $P (-4; -2; 1)$, $K (4; 2; -1)$ лежат на одной прямой, параллельной оси абсцисс?

Прямая, параллельная оси абсцисс (оси $Ox$), состоит из точек, у которых координаты по оси ординат ($y$) и по оси аппликат ($z$) являются постоянными. То есть, чтобы несколько точек лежали на такой прямой, у них должны быть одинаковые координаты $y$ и $z$. Координата $x$ при этом может быть любой.

Проверим данное условие для предложенных точек: M(8; –2; 1), N(8; 2; 1), P(–4; –2; 1), K(4; 2; –1).

Выпишем координаты $y$ и $z$ для каждой точки:

Для точки M: $y = -2$, $z = 1$.
Для точки N: $y = 2$, $z = 1$.
Для точки P: $y = -2$, $z = 1$.
Для точки K: $y = 2$, $z = -1$.

Сравнивая эти координаты, мы видим, что только у точек M и P одновременно совпадают и координата $y$, и координата $z$:

$y_M = y_P = -2$
$z_M = z_P = 1$

Таким образом, точки M и P лежат на одной прямой, параллельной оси абсцисс.

Ответ: M и P.