Страница 11 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

72. Даны векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$, $|\vec{a}|=3$, $|\vec{b}|=2$, $\angle(\vec{a}, \vec{b})=60^{\circ}$.

Найдите $|2\vec{a}-3\vec{b}|$.

72. Даны векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$, $|\vec{a}|=3$, $|\vec{b}|=2$, $\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 60^\circ$.
Найдите $|2\vec{a} - 3\vec{b}|$.

Для нахождения модуля вектора $|2\vec{a} - 3\vec{b}|$ воспользуемся свойством скалярного произведения, согласно которому квадрат модуля вектора равен его скалярному квадрату: $|\vec{c}|^2 = \vec{c} \cdot \vec{c}$.

Возведем искомый модуль в квадрат:

$|2\vec{a} - 3\vec{b}|^2 = (2\vec{a} - 3\vec{b}) \cdot (2\vec{a} - 3\vec{b})$

Раскроем скобки, используя дистрибутивный закон для скалярного произведения:

$(2\vec{a} - 3\vec{b}) \cdot (2\vec{a} - 3\vec{b}) = 4(\vec{a} \cdot \vec{a}) - 6(\vec{a} \cdot \vec{b}) - 6(\vec{b} \cdot \vec{a}) + 9(\vec{b} \cdot \vec{b})$

Учитывая, что скалярное произведение коммутативно ($\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$) и что скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля ($\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$), упростим выражение:

$|2\vec{a} - 3\vec{b}|^2 = 4|\vec{a}|^2 - 12(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 9|\vec{b}|^2$

Теперь нам нужно найти скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b}$. По определению, оно равно произведению модулей векторов на косинус угла между ними:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\angle(\vec{a}, \vec{b}))$

Подставим данные из условия задачи: $|\vec{a}| = 3$, $|\vec{b}| = 2$ и $\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 60^\circ$.

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot 2 \cdot \cos(60^\circ) = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3$

Подставим полученное значение скалярного произведения и модули векторов в наше выражение для квадрата модуля:

$|2\vec{a} - 3\vec{b}|^2 = 4 \cdot 3^2 - 12 \cdot 3 + 9 \cdot 2^2 = 4 \cdot 9 - 36 + 9 \cdot 4 = 36 - 36 + 36 = 36$

Таким образом, квадрат модуля вектора $2\vec{a} - 3\vec{b}$ равен $36$. Чтобы найти сам модуль, извлечем квадратный корень:

$|2\vec{a} - 3\vec{b}| = \sqrt{36} = 6$

Ответ: $6$

73. Найдите косинус угла между векторами $ \vec{a} = \vec{m} + 3\vec{n} $ и $ \vec{b} = 2\vec{m} - \vec{n} $, где $ |\vec{m}| = |\vec{n}| = 1 $, $ \vec{m} \perp \vec{n} $.

73. Найдите косинус угла между векторами $ \vec{a} = \vec{m} + 3\vec{n} $ и $ \vec{b} = 2\vec{m} - \vec{n} $, где $ |\vec{m}| = |\vec{n}| = 1 $, $ \vec{m} \perp \vec{n} $.

Косинус угла $\alpha$ между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ находится по формуле:

$\cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$

По условию задачи даны векторы $\vec{a} = \vec{m} + 3\vec{n}$ и $\vec{b} = 2\vec{m} - \vec{n}$, а также известно, что $|\vec{m}| = |\vec{n}| = 1$ и векторы $\vec{m}$ и $\vec{n}$ перпендикулярны ($\vec{m} \perp \vec{n}$).

Условие перпендикулярности векторов $\vec{m}$ и $\vec{n}$ означает, что их скалярное произведение равно нулю: $\vec{m} \cdot \vec{n} = 0$.

Сначала найдем скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, используя его свойства:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (\vec{m} + 3\vec{n}) \cdot (2\vec{m} - \vec{n}) = 2(\vec{m} \cdot \vec{m}) - \vec{m} \cdot \vec{n} + 6(\vec{n} \cdot \vec{m}) - 3(\vec{n} \cdot \vec{n})$.

Зная, что скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины ($\vec{x} \cdot \vec{x} = |\vec{x}|^2$) и $\vec{m} \cdot \vec{n} = 0$, подставим известные значения:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2|\vec{m}|^2 + 5(\vec{m} \cdot \vec{n}) - 3|\vec{n}|^2 = 2 \cdot 1^2 + 5 \cdot 0 - 3 \cdot 1^2 = 2 - 3 = -1$.

Теперь найдем длины (модули) векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Длина вектора $|\vec{x}|$ вычисляется как корень из его скалярного квадрата: $|\vec{x}| = \sqrt{\vec{x} \cdot \vec{x}}$.

Найдем квадрат длины вектора $\vec{a}$:

$|\vec{a}|^2 = (\vec{m} + 3\vec{n}) \cdot (\vec{m} + 3\vec{n}) = |\vec{m}|^2 + 6(\vec{m} \cdot \vec{n}) + 9|\vec{n}|^2 = 1^2 + 6 \cdot 0 + 9 \cdot 1^2 = 1 + 9 = 10$.

Отсюда длина вектора $\vec{a}$ равна $|\vec{a}| = \sqrt{10}$.

Найдем квадрат длины вектора $\vec{b}$:

$|\vec{b}|^2 = (2\vec{m} - \vec{n}) \cdot (2\vec{m} - \vec{n}) = 4|\vec{m}|^2 - 4(\vec{m} \cdot \vec{n}) + |\vec{n}|^2 = 4 \cdot 1^2 - 4 \cdot 0 + 1^2 = 4 + 1 = 5$.

Отсюда длина вектора $\vec{b}$ равна $|\vec{b}| = \sqrt{5}$.

Наконец, подставим все найденные значения в формулу для косинуса угла:

$\cos(\alpha) = \frac{-1}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{5}} = \frac{-1}{\sqrt{50}} = \frac{-1}{\sqrt{25 \cdot 2}} = \frac{-1}{5\sqrt{2}}$.

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:

$\cos(\alpha) = \frac{-1 \cdot \sqrt{2}}{5\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{-\sqrt{2}}{5 \cdot 2} = -\frac{\sqrt{2}}{10}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{10}$.

74. Ребро куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно $a$. Найдите скалярное произведение векторов:

1) $\vec{BD}$ и $\vec{B_1D_1}$;

2) $\vec{CD}$ и $\vec{AA_1}$;

3) $\vec{AC}$ и $\vec{B_1A_1}$.

74. Ребро куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно $a$. Найдите скаляр-ное произведение векторов:

1) $\vec{BD}$ и $\vec{B_1D_1}$;

2) $\vec{CD}$ и $\vec{AA_1}$;

3) $\vec{AC}$ и $\vec{B_1A_1}$.

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Пусть вершина A куба совпадает с началом координат, а ребра AD, AB и AA₁ лежат на осях Ox, Oy и Oz соответственно. Тогда ребро куба равно $a$, а координаты вершин будут следующими: A(0, 0, 0), B(0, a, 0), C(a, a, 0), D(a, 0, 0), A₁(0, 0, a), B₁(0, a, a), C₁(a, a, a), D₁(a, 0, a).

Скалярное произведение векторов $\overrightarrow{u}\{x_1; y_1; z_1\}$ и $\overrightarrow{v}\{x_2; y_2; z_2\}$ вычисляется по формуле $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$.

Найдем координаты векторов, зная координаты их начальных и конечных точек:B(0, a, 0), D(a, 0, 0) и B₁(0, a, a), D₁(a, 0, a).
$\overrightarrow{BD} = \{x_D - x_B; y_D - y_B; z_D - z_B\} = \{a - 0; 0 - a; 0 - 0\} = \{a; -a; 0\}$.
$\overrightarrow{B_1D_1} = \{x_{D_1} - x_{B_1}; y_{D_1} - y_{B_1}; z_{D_1} - z_{B_1}\} = \{a - 0; 0 - a; a - a\} = \{a; -a; 0\}$.
Теперь вычислим скалярное произведение:
$\overrightarrow{BD} \cdot \overrightarrow{B_1D_1} = a \cdot a + (-a) \cdot (-a) + 0 \cdot 0 = a^2 + a^2 + 0 = 2a^2$.

Ответ: $2a^2$

Найдем координаты векторов, зная координаты их начальных и конечных точек:C(a, a, 0), D(a, 0, 0) и A(0, 0, 0), A₁(0, 0, a).
$\overrightarrow{CD} = \{x_D - x_C; y_D - y_C; z_D - z_C\} = \{a - a; 0 - a; 0 - 0\} = \{0; -a; 0\}$.
$\overrightarrow{AA_1} = \{x_{A_1} - x_A; y_{A_1} - y_A; z_{A_1} - z_A\} = \{0 - 0; 0 - 0; a - 0\} = \{0; 0; a\}$.
Вычислим скалярное произведение:
$\overrightarrow{CD} \cdot \overrightarrow{AA_1} = 0 \cdot 0 + (-a) \cdot 0 + 0 \cdot a = 0 + 0 + 0 = 0$.
(Это также следует из того, что ребра CD и AA₁ перпендикулярны, так как CD перпендикулярно грани AA₁D₁D, в которой лежит AA₁).

Ответ: $0$

Найдем координаты векторов, зная координаты их начальных и конечных точек:A(0, 0, 0), C(a, a, 0) и B₁(0, a, a), A₁(0, 0, a).
$\overrightarrow{AC} = \{x_C - x_A; y_C - y_A; z_C - z_A\} = \{a - 0; a - 0; 0 - 0\} = \{a; a; 0\}$.
$\overrightarrow{B_1A_1} = \{x_{A_1} - x_{B_1}; y_{A_1} - y_{B_1}; z_{A_1} - z_{B_1}\} = \{0 - 0; 0 - a; a - a\} = \{0; -a; 0\}$.
Вычислим скалярное произведение:
$\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{B_1A_1} = a \cdot 0 + a \cdot (-a) + 0 \cdot 0 = 0 - a^2 + 0 = -a^2$.

Ответ: $-a^2$

75. Ребро правильного тетраэдра $DABC$ равно $a$, точка $E$ — середина на ребре $CD$ (рис. 6). Найдите скалярное произведение векторов:

1) $\vec{AE}$ и $\vec{DA}$;

2) $\vec{AE}$ и $\vec{DB}$.

Рис. 6

75. Ребро правильного тетраэдра $DABC$ равно $a$, точка $E$ — середина на ребра $CD$ (рис. 6). Найдите скалярное произведение векторов:

1) $\vec{AE}$ и $\vec{DA}$;

2) $\vec{AE}$ и $\vec{DB}$.

Поскольку DABC — это правильный тетраэдр, все его ребра равны a, а все грани являются равносторонними треугольниками. Следовательно, угол между любыми двумя ребрами, выходящими из одной вершины, равен $60^\circ$.

Для решения задачи удобнее всего использовать векторный метод. Введем базис из трех некомпланарных векторов, отложенных от одной вершины, например, от вершины D: $\vec{DA}$, $\vec{DB}$ и $\vec{DC}$.

Длины этих векторов равны длине ребра тетраэдра:
$|\vec{DA}| = |\vec{DB}| = |\vec{DC}| = a$.

Найдем скалярные произведения базисных векторов:
$\vec{DA} \cdot \vec{DB} = |\vec{DA}| \cdot |\vec{DB}| \cdot \cos(60^\circ) = a \cdot a \cdot \frac{1}{2} = \frac{a^2}{2}$.
$\vec{DB} \cdot \vec{DC} = |\vec{DB}| \cdot |\vec{DC}| \cdot \cos(60^\circ) = a \cdot a \cdot \frac{1}{2} = \frac{a^2}{2}$.
$\vec{DC} \cdot \vec{DA} = |\vec{DC}| \cdot |\vec{DA}| \cdot \cos(60^\circ) = a \cdot a \cdot \frac{1}{2} = \frac{a^2}{2}$.

Также нам понадобится скалярный квадрат вектора, который равен квадрату его длины:
$\vec{DA} \cdot \vec{DA} = |\vec{DA}|^2 = a^2$.

Теперь выразим вектор $\vec{AE}$ через базисные векторы. Точка E — середина ребра CD, поэтому $\vec{DE} = \frac{1}{2}\vec{DC}$.
Используя правило разности векторов, получаем:
$\vec{AE} = \vec{DE} - \vec{DA} = \frac{1}{2}\vec{DC} - \vec{DA}$.

Найдем скалярное произведение векторов $\vec{AE}$ и $\vec{DA}$, подставив выражение для $\vec{AE}$:
$\vec{AE} \cdot \vec{DA} = \left(\frac{1}{2}\vec{DC} - \vec{DA}\right) \cdot \vec{DA}$

Используя дистрибутивность скалярного произведения, раскроем скобки:
$\vec{AE} \cdot \vec{DA} = \frac{1}{2}(\vec{DC} \cdot \vec{DA}) - (\vec{DA} \cdot \vec{DA}) = \frac{1}{2}(\vec{DC} \cdot \vec{DA}) - |\vec{DA}|^2$

Подставим ранее вычисленные значения:
$\vec{AE} \cdot \vec{DA} = \frac{1}{2} \cdot \frac{a^2}{2} - a^2 = \frac{a^2}{4} - a^2 = \frac{a^2 - 4a^2}{4} = -\frac{3a^2}{4}$

Ответ: $-\frac{3a^2}{4}$

Аналогично найдем скалярное произведение векторов $\vec{AE}$ и $\vec{DB}$:
$\vec{AE} \cdot \vec{DB} = \left(\frac{1}{2}\vec{DC} - \vec{DA}\right) \cdot \vec{DB}$

Раскроем скобки:
$\vec{AE} \cdot \vec{DB} = \frac{1}{2}(\vec{DC} \cdot \vec{DB}) - (\vec{DA} \cdot \vec{DB})$

Подставим значения скалярных произведений:
$\vec{AE} \cdot \vec{DB} = \frac{1}{2} \cdot \frac{a^2}{2} - \frac{a^2}{2} = \frac{a^2}{4} - \frac{2a^2}{4} = -\frac{a^2}{4}$

Ответ: $-\frac{a^2}{4}$

76. Ребро куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно $a$. На ребре $BB_1$ отметили точку $M$ так, что $BM : MB_1 = 2 : 3$. Найдите скалярное произведение векторов $\vec{DM}$ и $\vec{B_1B}$.

76. Ребро куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно $a$. На ребре $BB_1$ отметили точку $M$ так, что $BM : MB_1 = 2 : 3$. Найдите скалярное произведение векторов $\vec{DM}$ и $\vec{B_1B}$.

Для решения задачи воспользуемся координатным методом. Введем прямоугольную систему координат с началом в вершине $D$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Направим оси координат вдоль ребер: ось $Ox$ вдоль ребра $DC$, ось $Oy$ вдоль ребра $DA$ и ось $Oz$ вдоль ребра $DD_1$.
Поскольку ребро куба равно $a$, мы можем определить координаты необходимых нам точек:
$D(0, 0, 0)$
$B(a, a, 0)$
$B_1(a, a, a)$

Точка $M$ расположена на ребре $BB_1$ и делит его в отношении $BM : MB_1 = 2 : 3$. Это означает, что длина отрезка $BM$ составляет $\frac{2}{2+3} = \frac{2}{5}$ от длины всего ребра $BB_1$. Длина ребра $BB_1$ равна $a$.
Найдем координаты точки $M$. Координаты $x$ и $y$ точки $M$ будут такими же, как у точек $B$ и $B_1$, то есть $x_M = a$ и $y_M = a$. Координата $z$ точки $M$ будет равна координате $z$ точки $B$ плюс длина отрезка $BM$.
$z_M = z_B + |BM| = 0 + \frac{2}{5}a = \frac{2}{5}a$.
Таким образом, координаты точки $M$ равны $(a, a, \frac{2}{5}a)$.

Теперь определим координаты векторов $\vec{DM}$ и $\vec{B_1B}$. Координаты вектора находятся как разность соответствующих координат его конечной и начальной точек.
Для вектора $\vec{DM}$: начало в $D(0, 0, 0)$, конец в $M(a, a, \frac{2}{5}a)$.
$\vec{DM} = (a - 0, a - 0, \frac{2}{5}a - 0) = (a, a, \frac{2}{5}a)$.

Для вектора $\vec{B_1B}$: начало в $B_1(a, a, a)$, конец в $B(a, a, 0)$.
$\vec{B_1B} = (a - a, a - a, 0 - a) = (0, 0, -a)$.

Скалярное произведение векторов $\vec{u}=(x_1, y_1, z_1)$ и $\vec{v}=(x_2, y_2, z_2)$ вычисляется по формуле $\vec{u} \cdot \vec{v} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$.
Найдем скалярное произведение векторов $\vec{DM}$ и $\vec{B_1B}$:
$\vec{DM} \cdot \vec{B_1B} = (a) \cdot (0) + (a) \cdot (0) + (\frac{2}{5}a) \cdot (-a) = 0 + 0 - \frac{2}{5}a^2 = -\frac{2}{5}a^2$.

Ответ: $-\frac{2}{5}a^2$.

77. Найдите скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, если:

1) $\vec{a}(-2; 3; 1)$, $\vec{b}(-4; -5; 2)$;

2) $\vec{a}(0; 4; -7)$, $\vec{b}(-3; 0; 2)$.

77. Найдите скалярное произведение векторов $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $, если:

1) $ \vec{a} (-2; 3; 1), \vec{b} (-4; -5; 2); $

2) $ \vec{a} (0; 4; -7), \vec{b} (-3; 0; 2). $

Скалярное произведение двух векторов, заданных своими координатами $\vec{a} \{x_1; y_1; z_1\}$ и $\vec{b} \{x_2; y_2; z_2\}$, вычисляется по формуле:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2$

1) Для векторов $\vec{a} \{-2; 3; 1\}$ и $\vec{b} \{-4; -5; 2\}$ найдем скалярное произведение:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (-2) \cdot (-4) + 3 \cdot (-5) + 1 \cdot 2 = 8 - 15 + 2 = -5$

Ответ: -5

2) Для векторов $\vec{a} \{0; 4; -7\}$ и $\vec{b} \{-3; 0; 2\}$ найдем скалярное произведение:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \cdot (-3) + 4 \cdot 0 + (-7) \cdot 2 = 0 + 0 - 14 = -14$

Ответ: -14

78. Даны векторы $\vec{a} (4; -1; m)$ и $\vec{b} (3; m; 2)$. При каком значении $m$ выполняется равенство $\vec{a} \cdot \vec{b} = 14$?

78. Даны векторы $\vec{a} (4; -1; m)$ и $\vec{b} (3; m; 2)$. При каком значении $m$ выполняется равенство $\vec{a} \cdot \vec{b} = 14$?

Для того чтобы найти значение $m$, при котором выполняется равенство $\vec{a} \cdot \vec{b} = 14$, необходимо найти скалярное произведение векторов $\vec{a}(4; -1; m)$ и $\vec{b}(3; m; 2)$ и приравнять его к 14.

Скалярное произведение двух векторов, заданных своими координатами, вычисляется как сумма произведений их соответствующих координат. Для векторов $\vec{a}(x_1; y_1; z_1)$ и $\vec{b}(x_2; y_2; z_2)$ формула скалярного произведения имеет вид:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$

Подставим координаты данных векторов в эту формулу:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 4 \cdot 3 + (-1) \cdot m + m \cdot 2$

Теперь упростим полученное выражение:

$12 - m + 2m = 12 + m$

Согласно условию задачи, скалярное произведение должно быть равно 14. Составим и решим уравнение:

$12 + m = 14$

Перенесем 12 в правую часть уравнения, изменив знак:

$m = 14 - 12$

$m = 2$

Проверим, подставив $m=2$ в координаты векторов: $\vec{a}(4; -1; 2)$ и $\vec{b}(3; 2; 2)$.

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 4 \cdot 3 + (-1) \cdot 2 + 2 \cdot 2 = 12 - 2 + 4 = 14$.

Равенство выполняется.

Ответ: 2

79. Даны векторы $\vec{a} (2; -3; 5)$ и $\vec{b} (1; 2; z)$. При каком значении z векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ перпендикулярны?

79. Даны векторы $\vec{a} (2; -3; 5)$ и $\vec{b} (1; 2; z)$. При каком значении z векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ перпендикулярны?

Два ненулевых вектора называются перпендикулярными (или ортогональными), если их скалярное произведение равно нулю.

Даны векторы $\vec{a}$ с координатами $(2; -3; 5)$ и $\vec{b}$ с координатами $(1; 2; z)$.

Скалярное произведение векторов $\vec{a}(x_1; y_1; z_1)$ и $\vec{b}(x_2; y_2; z_2)$ в координатной форме вычисляется по формуле:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$

Подставим координаты данных векторов в формулу скалярного произведения:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 1 + (-3) \cdot 2 + 5 \cdot z$

Так как по условию векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ перпендикулярны, их скалярное произведение должно быть равно нулю:

$2 \cdot 1 + (-3) \cdot 2 + 5 \cdot z = 0$

Решим полученное уравнение относительно переменной $z$:

$2 - 6 + 5z = 0$

$-4 + 5z = 0$

$5z = 4$

$z = \frac{4}{5}$

$z = 0.8$

Следовательно, при $z = 0.8$ векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ будут перпендикулярны.

Ответ: $0.8$

80.Найдите косинус угла между векторами $\vec{a} (2; -1; 2)$ и $\vec{b} (-4; 1; 3)$.

80. Найдите косинус угла между векторами $\vec{a} (2; -1; 2)$ и $\vec{b} (-4; 1; 3)$.

Косинус угла $\alpha$ между двумя векторами $\vec{a}(x_1; y_1; z_1)$ и $\vec{b}(x_2; y_2; z_2)$ вычисляется по формуле:

$\cos \alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \frac{x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2 + y_2^2 + z_2^2}}$

Даны векторы $\vec{a}(2; -1; 2)$ и $\vec{b}(-4; 1; 3)$.

1. Найдем скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot (-4) + (-1) \cdot 1 + 2 \cdot 3 = -8 - 1 + 6 = -3$

2. Найдем длины (модули) векторов:

$|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3$

$|\vec{b}| = \sqrt{(-4)^2 + 1^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 1 + 9} = \sqrt{26}$

3. Подставим найденные значения в формулу для косинуса угла:

$\cos \alpha = \frac{-3}{3 \cdot \sqrt{26}} = -\frac{1}{\sqrt{26}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, домножив числитель и знаменатель на $\sqrt{26}$:

$\cos \alpha = -\frac{1}{\sqrt{26}} \cdot \frac{\sqrt{26}}{\sqrt{26}} = -\frac{\sqrt{26}}{26}$

Ответ: $-\frac{\sqrt{26}}{26}$.

81. Найдите угол между векторами $ \vec{AB} $ и $ \vec{BC} $, если $ A (1; -3; 4) $, $ B (2; -2; 5) $, $ C (3; 1; 3) $.

81. Найдите угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$, если A (1; -3; 4), B (2; -2; 5), C (3; 1; 3).

Для того чтобы найти угол между векторами, воспользуемся формулой, связывающей косинус угла между векторами с их скалярным произведением и их длинами:

$\cos \alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$

где $\alpha$ — искомый угол.

1. Найдем координаты векторов $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$

Координаты вектора находятся путем вычитания соответствующих координат начала из координат конца.

Для вектора $\vec{AB}$ с началом в точке $A(1; -3; 4)$ и концом в точке $B(2; -2; 5)$:

$\vec{AB} = \{2 - 1; -2 - (-3); 5 - 4\} = \{1; 1; 1\}$.

Для вектора $\vec{BC}$ с началом в точке $B(2; -2; 5)$ и концом в точке $C(3; 1; 3)$:

$\vec{BC} = \{3 - 2; 1 - (-2); 3 - 5\} = \{1; 3; -2\}$.

2. Найдем скалярное произведение векторов $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$

Скалярное произведение векторов $\vec{a} = \{x_1; y_1; z_1\}$ и $\vec{b} = \{x_2; y_2; z_2\}$ вычисляется по формуле $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$.

$\vec{AB} \cdot \vec{BC} = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 3 + 1 \cdot (-2) = 1 + 3 - 2 = 2$.

3. Найдем длины (модули) векторов $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$

Длина вектора $\vec{a} = \{x; y; z\}$ вычисляется по формуле $|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.

$|\vec{AB}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$.

$|\vec{BC}| = \sqrt{1^2 + 3^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 9 + 4} = \sqrt{14}$.

4. Найдем косинус угла между векторами

Подставим полученные значения в формулу:

$\cos \alpha = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{BC}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{BC}|} = \frac{2}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{14}} = \frac{2}{\sqrt{42}}$.

5. Найдем угол

Угол $\alpha$ равен арккосинусу полученного значения.

$\alpha = \arccos\left(\frac{2}{\sqrt{42}}\right)$.

Ответ: $\arccos\left(\frac{2}{\sqrt{42}}\right)$.

82. Даны векторы $\vec{a} (2; 4; -3)$ и $\vec{b} (x; 1; 6)$. При каких значениях $x$ угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

1) острый;

2) прямой;

3) тупой?

82. Даны векторы $\vec{a} (2; 4; -3)$ и $\vec{b} (x; 1; 6)$. При каких значениях x угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

1) острый;

2) прямой;

3) тупой?

Тип угла $\alpha$ между двумя ненулевыми векторами $\vec{a}(2; 4; -3)$ и $\vec{b}(x; 1; 6)$ определяется знаком их скалярного произведения $\vec{a} \cdot \vec{b}$. Это следует из определения скалярного произведения: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\alpha)$. Так как длины векторов $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ положительны, знак произведения зависит только от знака $\cos(\alpha)$.

- Если угол острый ($0^\circ \le \alpha < 90^\circ$), то $\cos(\alpha) > 0$, и, следовательно, скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b} > 0$.
- Если угол прямой ($\alpha = 90^\circ$), то $\cos(\alpha) = 0$, и, следовательно, скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$.
- Если угол тупой ($90^\circ < \alpha \le 180^\circ$), то $\cos(\alpha) < 0$, и, следовательно, скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b} < 0$.

Сначала вычислим скалярное произведение данных векторов через их координаты:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z$
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot x + 4 \cdot 1 + (-3) \cdot 6 = 2x + 4 - 18 = 2x - 14$.
Теперь рассмотрим каждый случай в отдельности.

1) острый;
Угол между векторами будет острым, если их скалярное произведение положительно.
$\vec{a} \cdot \vec{b} > 0$
$2x - 14 > 0$
$2x > 14$
$x > 7$
Ответ: при $x > 7$.

2) прямой;
Угол между векторами будет прямым, если их скалярное произведение равно нулю.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$
$2x - 14 = 0$
$2x = 14$
$x = 7$
Ответ: при $x = 7$.

3) тупой?
Угол между векторами будет тупым, если их скалярное произведение отрицательно.
$\vec{a} \cdot \vec{b} < 0$
$2x - 14 < 0$
$2x < 14$
$x < 7$
Ответ: при $x < 7$.

83. Докажите, используя векторы, что четырёхугольник $ABCD$ с вершинами $A (-1; -2; -1)$, $B (-4; -3; -4)$, $C (-1; -9; -5)$ и $D (2; -8; -2)$ является прямоугольником.

83. Докажите, используя векторы, что четырёхугольник ABCD с вершинами A (-1; -2; -1), B (-4; -3; -4), C (-1; -9; -5) и D (2; -8; -2) является прямоугольником.

Чтобы доказать, что четырехугольник ABCD является прямоугольником, необходимо с помощью векторов установить два факта: во-первых, что ABCD является параллелограммом, и, во-вторых, что у этого параллелограмма есть прямой угол.

1. Доказательство того, что ABCD - параллелограмм

Четырехугольник является параллелограммом, если векторы, представляющие его противоположные стороны, равны. Найдем координаты векторов, соответствующих сторонам четырехугольника, по координатам его вершин: A(-1; -2; -1), B(-4; -3; -4), C(-1; -9; -5) и D(2; -8; -2).

Координаты вектора $\vec{XY}$ с началом в точке $X(x_1; y_1; z_1)$ и концом в точке $Y(x_2; y_2; z_2)$ вычисляются по формуле $\vec{XY} = (x_2 - x_1; y_2 - y_1; z_2 - z_1)$.

Найдем координаты векторов $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$:

$\vec{AB} = (-4 - (-1); -3 - (-2); -4 - (-1)) = (-3; -1; -3)$

$\vec{DC} = (-1 - 2; -9 - (-8); -5 - (-2)) = (-3; -1; -3)$

Поскольку векторы $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$ равны ($\vec{AB} = \vec{DC}$), это означает, что стороны AB и DC параллельны и равны по длине. Следовательно, четырехугольник ABCD является параллелограммом.

2. Доказательство наличия прямого угла

Параллелограмм является прямоугольником, если его смежные стороны перпендикулярны. Векторы, соответствующие этим сторонам, также должны быть перпендикулярны. Два вектора перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю. Проверим это для смежных сторон AB и AD.

Найдем координаты вектора $\vec{AD}$:

$\vec{AD} = (2 - (-1); -8 - (-2); -2 - (-1)) = (3; -6; -1)$

Теперь вычислим скалярное произведение векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$:

$\vec{AB} \cdot \vec{AD} = (-3) \cdot 3 + (-1) \cdot (-6) + (-3) \cdot (-1)$

$\vec{AB} \cdot \vec{AD} = -9 + 6 + 3 = 0$

Так как скалярное произведение равно нулю, векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$ перпендикулярны. Это означает, что угол между сторонами AB и AD, то есть $\angle A$, является прямым.

Таким образом, мы доказали, что ABCD - это параллелограмм, у которого есть прямой угол. По определению, такой параллелограмм является прямоугольником.

Ответ: Четырехугольник ABCD является прямоугольником, что и требовалось доказать.