Номер 76, страница 11 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

76. Ребро куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно $a$. На ребре $BB_1$ отметили точку $M$ так, что $BM : MB_1 = 2 : 3$. Найдите скалярное произведение векторов $\vec{DM}$ и $\vec{B_1B}$.

76. Ребро куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно $a$. На ребре $BB_1$ отметили точку $M$ так, что $BM : MB_1 = 2 : 3$. Найдите скалярное произведение векторов $\vec{DM}$ и $\vec{B_1B}$.

Для решения задачи воспользуемся координатным методом. Введем прямоугольную систему координат с началом в вершине $D$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Направим оси координат вдоль ребер: ось $Ox$ вдоль ребра $DC$, ось $Oy$ вдоль ребра $DA$ и ось $Oz$ вдоль ребра $DD_1$.
Поскольку ребро куба равно $a$, мы можем определить координаты необходимых нам точек:
$D(0, 0, 0)$
$B(a, a, 0)$
$B_1(a, a, a)$

Точка $M$ расположена на ребре $BB_1$ и делит его в отношении $BM : MB_1 = 2 : 3$. Это означает, что длина отрезка $BM$ составляет $\frac{2}{2+3} = \frac{2}{5}$ от длины всего ребра $BB_1$. Длина ребра $BB_1$ равна $a$.
Найдем координаты точки $M$. Координаты $x$ и $y$ точки $M$ будут такими же, как у точек $B$ и $B_1$, то есть $x_M = a$ и $y_M = a$. Координата $z$ точки $M$ будет равна координате $z$ точки $B$ плюс длина отрезка $BM$.
$z_M = z_B + |BM| = 0 + \frac{2}{5}a = \frac{2}{5}a$.
Таким образом, координаты точки $M$ равны $(a, a, \frac{2}{5}a)$.

Теперь определим координаты векторов $\vec{DM}$ и $\vec{B_1B}$. Координаты вектора находятся как разность соответствующих координат его конечной и начальной точек.
Для вектора $\vec{DM}$: начало в $D(0, 0, 0)$, конец в $M(a, a, \frac{2}{5}a)$.
$\vec{DM} = (a - 0, a - 0, \frac{2}{5}a - 0) = (a, a, \frac{2}{5}a)$.

Для вектора $\vec{B_1B}$: начало в $B_1(a, a, a)$, конец в $B(a, a, 0)$.
$\vec{B_1B} = (a - a, a - a, 0 - a) = (0, 0, -a)$.

Скалярное произведение векторов $\vec{u}=(x_1, y_1, z_1)$ и $\vec{v}=(x_2, y_2, z_2)$ вычисляется по формуле $\vec{u} \cdot \vec{v} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$.
Найдем скалярное произведение векторов $\vec{DM}$ и $\vec{B_1B}$:
$\vec{DM} \cdot \vec{B_1B} = (a) \cdot (0) + (a) \cdot (0) + (\frac{2}{5}a) \cdot (-a) = 0 + 0 - \frac{2}{5}a^2 = -\frac{2}{5}a^2$.

Ответ: $-\frac{2}{5}a^2$.