Номер 72, страница 11 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

72. Даны векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$, $|\vec{a}|=3$, $|\vec{b}|=2$, $\angle(\vec{a}, \vec{b})=60^{\circ}$.

Найдите $|2\vec{a}-3\vec{b}|$.

72. Даны векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$, $|\vec{a}|=3$, $|\vec{b}|=2$, $\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 60^\circ$.
Найдите $|2\vec{a} - 3\vec{b}|$.

Для нахождения модуля вектора $|2\vec{a} - 3\vec{b}|$ воспользуемся свойством скалярного произведения, согласно которому квадрат модуля вектора равен его скалярному квадрату: $|\vec{c}|^2 = \vec{c} \cdot \vec{c}$.

Возведем искомый модуль в квадрат:

$|2\vec{a} - 3\vec{b}|^2 = (2\vec{a} - 3\vec{b}) \cdot (2\vec{a} - 3\vec{b})$

Раскроем скобки, используя дистрибутивный закон для скалярного произведения:

$(2\vec{a} - 3\vec{b}) \cdot (2\vec{a} - 3\vec{b}) = 4(\vec{a} \cdot \vec{a}) - 6(\vec{a} \cdot \vec{b}) - 6(\vec{b} \cdot \vec{a}) + 9(\vec{b} \cdot \vec{b})$

Учитывая, что скалярное произведение коммутативно ($\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$) и что скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля ($\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$), упростим выражение:

$|2\vec{a} - 3\vec{b}|^2 = 4|\vec{a}|^2 - 12(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 9|\vec{b}|^2$

Теперь нам нужно найти скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b}$. По определению, оно равно произведению модулей векторов на косинус угла между ними:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\angle(\vec{a}, \vec{b}))$

Подставим данные из условия задачи: $|\vec{a}| = 3$, $|\vec{b}| = 2$ и $\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 60^\circ$.

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot 2 \cdot \cos(60^\circ) = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3$

Подставим полученное значение скалярного произведения и модули векторов в наше выражение для квадрата модуля:

$|2\vec{a} - 3\vec{b}|^2 = 4 \cdot 3^2 - 12 \cdot 3 + 9 \cdot 2^2 = 4 \cdot 9 - 36 + 9 \cdot 4 = 36 - 36 + 36 = 36$

Таким образом, квадрат модуля вектора $2\vec{a} - 3\vec{b}$ равен $36$. Чтобы найти сам модуль, извлечем квадратный корень:

$|2\vec{a} - 3\vec{b}| = \sqrt{36} = 6$

Ответ: $6$