Номер 73, страница 11 - гдз по геометрии 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

73. Найдите косинус угла между векторами $ \vec{a} = \vec{m} + 3\vec{n} $ и $ \vec{b} = 2\vec{m} - \vec{n} $, где $ |\vec{m}| = |\vec{n}| = 1 $, $ \vec{m} \perp \vec{n} $.

73. Найдите косинус угла между векторами $ \vec{a} = \vec{m} + 3\vec{n} $ и $ \vec{b} = 2\vec{m} - \vec{n} $, где $ |\vec{m}| = |\vec{n}| = 1 $, $ \vec{m} \perp \vec{n} $.

Косинус угла $\alpha$ между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ находится по формуле:

$\cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$

По условию задачи даны векторы $\vec{a} = \vec{m} + 3\vec{n}$ и $\vec{b} = 2\vec{m} - \vec{n}$, а также известно, что $|\vec{m}| = |\vec{n}| = 1$ и векторы $\vec{m}$ и $\vec{n}$ перпендикулярны ($\vec{m} \perp \vec{n}$).

Условие перпендикулярности векторов $\vec{m}$ и $\vec{n}$ означает, что их скалярное произведение равно нулю: $\vec{m} \cdot \vec{n} = 0$.

Сначала найдем скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, используя его свойства:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (\vec{m} + 3\vec{n}) \cdot (2\vec{m} - \vec{n}) = 2(\vec{m} \cdot \vec{m}) - \vec{m} \cdot \vec{n} + 6(\vec{n} \cdot \vec{m}) - 3(\vec{n} \cdot \vec{n})$.

Зная, что скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины ($\vec{x} \cdot \vec{x} = |\vec{x}|^2$) и $\vec{m} \cdot \vec{n} = 0$, подставим известные значения:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2|\vec{m}|^2 + 5(\vec{m} \cdot \vec{n}) - 3|\vec{n}|^2 = 2 \cdot 1^2 + 5 \cdot 0 - 3 \cdot 1^2 = 2 - 3 = -1$.

Теперь найдем длины (модули) векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Длина вектора $|\vec{x}|$ вычисляется как корень из его скалярного квадрата: $|\vec{x}| = \sqrt{\vec{x} \cdot \vec{x}}$.

Найдем квадрат длины вектора $\vec{a}$:

$|\vec{a}|^2 = (\vec{m} + 3\vec{n}) \cdot (\vec{m} + 3\vec{n}) = |\vec{m}|^2 + 6(\vec{m} \cdot \vec{n}) + 9|\vec{n}|^2 = 1^2 + 6 \cdot 0 + 9 \cdot 1^2 = 1 + 9 = 10$.

Отсюда длина вектора $\vec{a}$ равна $|\vec{a}| = \sqrt{10}$.

Найдем квадрат длины вектора $\vec{b}$:

$|\vec{b}|^2 = (2\vec{m} - \vec{n}) \cdot (2\vec{m} - \vec{n}) = 4|\vec{m}|^2 - 4(\vec{m} \cdot \vec{n}) + |\vec{n}|^2 = 4 \cdot 1^2 - 4 \cdot 0 + 1^2 = 4 + 1 = 5$.

Отсюда длина вектора $\vec{b}$ равна $|\vec{b}| = \sqrt{5}$.

Наконец, подставим все найденные значения в формулу для косинуса угла:

$\cos(\alpha) = \frac{-1}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{5}} = \frac{-1}{\sqrt{50}} = \frac{-1}{\sqrt{25 \cdot 2}} = \frac{-1}{5\sqrt{2}}$.

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:

$\cos(\alpha) = \frac{-1 \cdot \sqrt{2}}{5\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{-\sqrt{2}}{5 \cdot 2} = -\frac{\sqrt{2}}{10}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{10}$.